Statistik - Chebyshevs Theorem

Der Bruchteil eines Satzes von Zahlen, der innerhalb von k Standardabweichungen dieser Zahlen vom Mittelwert dieser Zahlen liegt, beträgt mindestens

$ {1- \ frac {1} {k ^ 2}} $

Wo -

$ {k = \ frac {die \ innerhalb \ Zahl} {die \ Standard \ Abweichung}} $

und $ {k} $ muss größer als 1 sein

Beispiel

Problem Statement:

Verwenden Sie den Satz von Chebyshev, um herauszufinden, wie viel Prozent der Werte für einen Datensatz mit einem Mittelwert von 151 und einer Standardabweichung von 14 zwischen 123 und 179 liegen.

Solution:

Wir subtrahieren 151-123 und erhalten 28, was uns sagt, dass 123 28 Einheiten unter dem Mittelwert liegt.
Wir subtrahieren 179-151 und erhalten auch 28, was uns sagt, dass 151 28 Einheiten über dem Mittelwert liegt.
Diese beiden zusammen sagen uns, dass die Werte zwischen 123 und 179 alle innerhalb von 28 Einheiten des Mittelwerts liegen. Daher ist die "innere Zahl" 28.
Wir finden also die Anzahl der Standardabweichungen k, die die "innere Zahl" 28 ergibt, indem wir sie durch die Standardabweichung dividieren:

$ {k = \ frac {die \ innerhalb \ Zahl} {die \ Standard \ Abweichung} = \ frac {28} {14} = 2} $

Jetzt wissen wir also, dass die Werte zwischen 123 und 179 alle innerhalb von 28 Einheiten des Mittelwerts liegen, was dasselbe ist wie innerhalb von k = 2 Standardabweichungen des Mittelwerts. Da nun k> 1 ist, können wir die Chebyshev-Formel verwenden, um den Bruchteil der Daten zu ermitteln, der innerhalb von k = 2 Standardabweichungen vom Mittelwert liegt. Wenn wir k = 2 einsetzen, haben wir:

$ {1- \ frac {1} {k ^ 2} = 1- \ frac {1} {2 ^ 2} = 1- \ frac {1} {4} = \ frac {3} {4}} $

$ {\ Frac {3} {4}} $ der Daten liegen also zwischen 123 und 179. Und da $ {\ frac {3} {4} = 75} $% bedeutet, dass 75% der Datenwerte zwischen liegen 123 und 179.