Statistik - Kurtosis

Der Grad der Schwanzbildung einer Verteilung wird durch Kurtosis gemessen. Es zeigt uns, inwieweit die Verteilung mehr oder weniger zu Ausreißern neigt (schwerer oder leichter) als die Normalverteilung. Drei verschiedene Arten von Kurven, mit freundlicher Genehmigung von Investopedia, werden wie folgt gezeigt:

Es ist schwierig, verschiedene Arten von Kurtosis aus den Dichtediagrammen (linkes Feld) zu erkennen, da die Schwänze für alle Verteilungen nahe Null sind. Unterschiede in den Schwänzen sind jedoch in den normalen Quantil-Quantil-Diagrammen (rechtes Feld) leicht zu erkennen.

Die normale Kurve wird als mesokurtische Kurve bezeichnet. Wenn die Kurve einer Verteilung eher zu Ausreißern neigt (oder schwerer ist) als eine normale oder mesokurtische Kurve, wird sie als leptokurtische Kurve bezeichnet. Wenn eine Kurve weniger zu Ausreißern neigt (oder einen leichteren Schwanz hat) als eine normale Kurve, wird sie als platykurtische Kurve bezeichnet. Kurtosis wird durch Momente gemessen und wird durch die folgende Formel gegeben -

Formel

$ {\ beta_2 = \ frac {\ mu_4} {\ mu_2}} $

Wo -

$ {\ mu_4 = \ frac {\ sum (x- \ bar x) ^ 4} {N}} $

Je größer der Wert von \ beta_2 ist, desto höher oder leptokurtischer ist die Kurve. Eine normale Kurve hat einen Wert von 3, ein Leptokurtikum hat \ beta_2 größer als 3 und ein Platykurtikum hat \ beta_2 kleiner als 3.

Beispiel

Problem Statement:

Die Daten zum Tageslohn von 45 Arbeitern einer Fabrik sind angegeben. Berechnen Sie \ beta_1 und \ beta_2 mit dem Moment über den Mittelwert. Kommentieren Sie die Ergebnisse.

Löhne (Rs.)	Anzahl der Arbeiter
100-200	1
120-200	2
140-200	6
160-200	20
180-200	11
200-200	3
220-200	2

Solution:

Löhne (Rs.)	Anzahl der Arbeitnehmer (f)	Mid-pt m	m - $ {\ frac {170} {20}} $ d	$ {fd} $	$ {fd ^ 2} $	$ {fd ^ 3} $	$ {fd ^ 4} $
100-200	1	110	-3	-3	9	-27	81
120-200	2	130	-2	-4	8	-16	32
140-200	6	150	-1	-6	6	-6	6
160-200	20	170	0	0	0	0	0
180-200	11	190	1	11	11	11	11
200-200	3	210	2	6	12	24	48
220-200	2	230	3	6	18	54	162
	$ {N = 45} $			$ {\ sum fd = 10} $	$ {\ sum fd ^ 2 = 64} $	$ {\ sum fd ^ 3 = 40} $	$ {\ sum fd ^ 4 = 330} $

Da die Abweichungen von einem angenommenen Mittelwert genommen wurden, berechnen wir zuerst Momente über einen beliebigen Ursprung und dann Momente über den Mittelwert. Momente über willkürliche Herkunft '170'

$ {\ mu_1 ^ 1 = \ frac {\ sum fd} {N} \ mal i = \ frac {10} {45} \ mal 20 = 4,44 \\ [7pt] \ mu_2 ^ 1 = \ frac {\ sum fd ^ 2} {N} \ times i ^ 2 = \ frac {64} {45} \ times 20 ^ 2 = 568,88 \\ [7pt] \ mu_3 ^ 1 = \ frac {\ sum fd ^ 2} {N} \ mal i ^ 3 = \ frac {40} {45} \ mal 20 ^ 3 = 7111.11 \\ [7pt] \ mu_4 ^ 1 = \ frac {\ sum fd ^ 4} {N} \ mal i ^ 4 = \ frac {330} {45} \ times 20 ^ 4 = 1173333.33} $

Momente über gemein

$ {\ mu_2 = \ mu'_2 - (\ mu'_1) ^ 2 = 568,88- (4,44) ^ 2 = 549,16 \\ [7pt] \ mu_3 = \ mu'_3 - 3 (\ mu'_1) (\ mu'_2) + 2 (\ mu'_1) ^ 3 \\ [7pt] \, = 7111,11 - (4,44) (568,88) + 2 (4,44) ^ 3 \\ [7pt] \, = 7111,11 - 7577,48 + 175,05 = - 291,32 \\ [7pt] \\ [7pt] \ mu_4 = \ mu'_4 - 4 (\ mu'_1) (\ mu'_3) + 6 (\ mu_1) ^ 2 (\ mu'_2) -3 (\ mu'_1) ^ 4 \\ [7pt] \, = 1173333.33 - 4 (4.44) (7111.11) +6 (4.44) ^ 2 (568.88) - 3 (4.44) ^ 4 \\ [7pt] \, = 1173333.33 - 126293.31 + 67288.03-1165.87 \\ [7pt] \, = 1113162.18} $

Aus dem Wert der Bewegung um den Mittelwert können wir nun $ {\ beta_1} $ und $ {\ beta_2} $ berechnen:

$ {\ beta_1 = \ mu ^ 2_3 = \ frac {(- 291,32) ^ 2} {(549,16) ^ 3} = 0,00051 \\ [7pt] \ beta_2 = \ frac {\ mu_4} {(\ mu_2) ^ 2 } = \ frac {1113162.18} {(546.16) ^ 2} = 3.69} $

Aus den obigen Berechnungen kann geschlossen werden, dass $ {\ beta_1} $, das die Schiefe misst, nahezu Null ist, was darauf hinweist, dass die Verteilung nahezu symmetrisch ist. $ {\ beta_2} $ Was Kurtosis misst, hat einen Wert größer als 3, was bedeutet, dass die Verteilung leptokurtisch ist.