Statistik - Intervallschätzung

Die Intervallschätzung ist die Verwendung von Probendaten zur Berechnung eines Intervalls möglicher (oder wahrscheinlicher) Werte eines unbekannten Populationsparameters im Gegensatz zur Punktschätzung, bei der es sich um eine einzelne Zahl handelt.

Formel

$ {\ mu = \ bar x \ pm Z _ {\ frac {\ alpha} {2}} \ frac {\ sigma} {\ sqrt n}} $

Wo -

$ {\ bar x} $ = Mittelwert
$ {Z _ {\ frac {\ alpha} {2}}} $ = der Konfidenzkoeffizient
$ {\ alpha} $ = Konfidenzniveau
$ {\ sigma} $ = Standardabweichung
$ {n} $ = Stichprobengröße

Beispiel

Problem Statement:

Angenommen, ein Schüler, der die Siedetemperatur einer bestimmten Flüssigkeit misst, beobachtet die Messwerte (in Grad Celsius) 102,5, 101,7, 103,1, 100,9, 100,5 und 102,2 an 6 verschiedenen Proben der Flüssigkeit. Er berechnet den Stichprobenmittelwert auf 101,82. Wenn er weiß, dass die Standardabweichung für dieses Verfahren 1,2 Grad beträgt, wie hoch ist die Intervallschätzung für die Grundgesamtheit bei einem Konfidenzniveau von 95%?

Solution:

Der Student berechnete den Probenmittelwert der Siedetemperaturen zu 101,82 mit der Standardabweichung $ {\ sigma = 0,49} $. Der kritische Wert für ein 95% -Konfidenzintervall ist 1,96, wobei $ {\ frac {1-0,95} {2} = 0,025} $. Ein 95% -Konfidenzintervall für den unbekannten Mittelwert.

$ {= (((101,82 - (1,96 \ mal 0,49)), (101,82 + (1,96 \ mal 0,49))) \\ [7pt] \ = (101,82 - 0,96, 101,82 + 0,96) \\ [7pt] \ = ( 100,86, 102,78)} $

Wenn das Vertrauensniveau abnimmt, nimmt die Größe des entsprechenden Intervalls ab. Angenommen, der Schüler war an einem 90% -Konfidenzintervall für die Siedetemperatur interessiert. In diesem Fall ist $ {\ sigma = 0,90} $ und $ {\ frac {1-0,90} {2} = 0,05} $. Der kritische Wert für dieses Niveau ist gleich 1,645, also ist das 90% -Konfidenzintervall

$ {= ((101,82 - (1,645 \ mal 0,49)), (101,82 + (1,645 \ mal 0,49))) \\ [7pt] \ = (101,82 - 0,81, 101,82 + 0,81) \\ [7pt] \ = ( 101,01, 102,63)} $

Eine Erhöhung der Stichprobengröße verringert die Länge des Konfidenzintervalls, ohne das Konfidenzniveau zu verringern. Dies liegt daran, dass die Standardabweichung mit zunehmendem n abnimmt.

Fehlermarge

Die Fehlergrenze $ {m} $ der Intervallschätzung ist definiert als der Wert, der vom Stichprobenmittelwert addiert oder subtrahiert wird, der die Länge des Intervalls bestimmt:

$ {Z _ {\ frac {\ alpha} {2}} \ frac {\ sigma} {\ sqrt n}} $

Angenommen, im obigen Beispiel möchte der Schüler eine Fehlerquote von 0,5 mit 95% iger Sicherheit. Das Einsetzen der entsprechenden Werte in den Ausdruck für $ {m} $ und das Auflösen nach n ergibt die Berechnung.

$ {n = {(1,96 \ times \ frac {1,2} {0,5})} ^ 2 \\ [7pt] \ = {\ frac {2,35} {0,5} ^ 2} \\ [7pt] \ = {(4,7 )} ^ 2 \ = 22.09} $

Um eine Intervallschätzung von 95% für den mittleren Siedepunkt mit einer Gesamtlänge von weniger als 1 Grad zu erreichen, muss der Schüler 23 Messungen durchführen.