Odkrywanie hiperboloidy dwóch arkuszy: podróż przez geometrię 3D

Wstęp

Geometria odgrywa znaczącą rolę w naszym rozumieniu otaczającego nas świata. Dostarcza nam narzędzi do opisywania, analizowania i wizualizacji różnych kształtów i struktur. Intrygującym kształtem w trójwymiarowej geometrii jest hiperboloida dwóch arkuszy. W tym artykule omówimy koncepcję hiperboloidy dwóch arkuszy, jej matematyczną reprezentację, właściwości i zastosowania w świecie rzeczywistym.

Zrozumienie hiperboloidów

Hiperboloida to trójwymiarowa, zakrzywiona powierzchnia utworzona przez obrót hiperboli wokół jednej z jej głównych osi. Istnieją dwa rodzaje hiperboloidów: hiperboloida jednego arkusza i hiperboloida dwóch arkuszy. Główna różnica między tymi dwoma typami polega na ich strukturze i sposobie, w jaki są zdefiniowane matematycznie.

Hiperboloida dwóch arkuszy

Hiperboloida złożona z dwóch arkuszy to powierzchnia utworzona z dwóch rozłączonych, lustrzanych odbić arkuszy, które rozciągają się w nieskończoność we wszystkich kierunkach. Matematyczna reprezentacja hiperboloidy dwóch arkuszy jest dana równaniem:

(1)[math] \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = -1 [/math]

Tutaj , a, bi csą dodatnimi stałymi, które określają kształt hiperboloidy i (x, y, z) reprezentują współrzędne punktu na powierzchni.

Właściwości hiperboloidy dwóch arkuszy

1. Asymptotyczne stożki: Hiperboloida z dwóch arkuszy ma dwa asymptotyczne stożki, jeden powyżej i jeden poniżej płaszczyzny xy. Te stożki mają ten sam wierzchołek i są swoimi lustrzanymi odbiciami. Stożek asymptotyczny to stożek, który „dotyka” hiperboloidy na nieskończoną odległość, co oznacza, że ​​powierzchnia hiperboloidy zbliża się coraz bardziej do stożka, gdy rozciąga się on do nieskończoności.
2. Powierzchnie odłączone: W przeciwieństwie do hiperboloidy jednego arkusza, hiperboloida dwóch arkuszy składa się z dwóch oddzielnych, rozdzielonych powierzchni. Ta właściwość nadaje kształtowi niepowtarzalny wygląd i odróżnia go od innych kształtów geometrycznych 3D.
3. Samoprzecinające się: Hiperboloida dwóch arkuszy nie przecina się samoczynnie, co oznacza, że ​​nie przecina się w żadnym punkcie.
4. Symetria: hiperboloida dwóch arkuszy wykazuje dwustronną symetrię względem płaszczyzny xy. Oznacza to, że jeśli przetniesz hiperboloidę przez płaszczyznę xy, otrzymasz dwie identyczne połówki.

Hiperboloidy z dwóch arkuszy, chociaż abstrakcyjne koncepcje matematyczne, zainspirowały różne zastosowania w świecie rzeczywistym:

1. Architektura: Kształt hiperboloidy był używany do budowy wież chłodniczych dla elektrowni. Zakrzywiony kształt hiperboloidy zapewnia stabilność konstrukcji i wydajną cyrkulację powietrza, co pomaga w procesie chłodzenia.
2. Anteny satelitarne: Hiperboloidy można znaleźć w projekcie niektórych anten satelitarnych. Czasze te mają przekrój paraboliczny w jednym kierunku i przekrój hiperboliczny w drugim kierunku, co pozwala im skutecznie skupiać przychodzące sygnały.

import bpy 
import bmesh 
import numpy as np 
 
# Define the range for x, y values 
x_range = (-3, 3) 
y_range = (-3, 3) 
step = 0.1 
 
# Create a new mesh object 
mesh = bpy.data.meshes.new(name="TwoSheetHyperboloid") 
 
# Create a new object with the mesh 
obj = bpy.data.objects.new("TwoSheetHyperboloid", mesh) 
 
# Link the object to the scene collection 
bpy.context.collection.objects.link(obj) 
 
# Create a new bmesh 
bm = bmesh.new() 
 
# Create a meshgrid for x and y values 
x = np.arange(x_range[0], x_range[1], step) 
y = np.arange(y_range[0], y_range[1], step) 
X, Y = np.meshgrid(x, y) 
 
# Calculate the values for the two-sheet hyperboloid 
Z1 = np.sqrt(X**2 + Y**2 + 1) 
Z2 = -np.sqrt(X**2 + Y**2 + 1) 
 
# Create the vertices 
verts = [bm.verts.new((X[i, j], Y[i, j], Z1[i, j])) for i in range(len(x)) for j in range(len(y))] + \ 
        [bm.verts.new((X[i, j], Y[i, j], Z2[i, j])) for i in range(len(x)) for j in range(len(y))] 
 
# Create the faces 
for k in range(2): 
    for i in range(len(x) - 1): 
        for j in range(len(y) - 1): 
            offset = k * len(x) * len(y) 
            v1 = offset + i * len(y) + j 
            v2 = offset + i * len(y) + j + 1 
            v3 = offset + (i + 1) * len(y) + j + 1 
            v4 = offset + (i + 1) * len(y) + j 
            bm.faces.new((verts[v1], verts[v2], verts[v3], verts[v4])) 
 
# Update the bmesh 
bm.normal_update() 
 
# Set the mesh of the bmesh object 
bm.to_mesh(mesh) 
 
# Set the object's viewport display mode to Wire 
obj.display_type = 'WIRE'