Stała Eulera

"mi". Każdy z nas spotkał się z „e”. Co to jest?

Jest piątym alfabetem i drugą samogłoską w języku angielskim. Tak mówimy, kiedy pokazujemy komuś nasze zęby. Ale matematycy uznają to za stałą Eulera . Stojąc obok innych ważnych stałych matematycznych, takich jak π, i, Φ, sqrt{2} itd., ta stała, niewymierna liczba ma wartość 2,718281828459045235……

Większość stałych matematycznych jest geometrycznych. Na przykład π to stosunek obwodu koła do jego średnicy, sqrt{2} to długość przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego, którego ramiona są równe jedności. Ale „e” jest stałą, która nie jest zdefiniowana przez geometrię ani żaden kształt. Opiera się na wzroście lub tempie zmian. Ale jak?

Cofnijmy się do XVII wieku, kiedy Jacob Bernoulli pracował nad odsetkiem składanym, czyli zdobywaniem odsetek od swoich pieniędzy.

Załóżmy, że jesteś częścią banku, bardzo hojnego banku. Załóżmy, że dałeś bankowi 1 ₹, a bank daje odsetki w wysokości 100% rocznie. (Naprawdę bardzo hojny bank). Więc teraz, pod koniec roku, będziesz mieć 2 INR. Jeśli więc zyskasz 50% odsetek na 6 miesięcy, czy skończysz z tą samą kwotą, 2₹? Czy może więcej? czy mniej? Obliczmy i zobaczmy, dobrze?

Cóż, to pokazuje, że jeśli weźmiesz 50% odsetek na 6 miesięcy, pomoże ci to zyskać więcej niż posiadanie odsetek w wysokości 100% rocznie. A co, jeśli co miesiąc bierzesz 1/12 odsetek?

Wtedy będzie,

Jeśli 1/52 odsetek jest podawana tygodniowo, ostateczna kwota wyniesie:

Co powiesz na 1/365 odsetek każdego dnia, wtedy Twoja kwota pod koniec roku po przekazaniu bankowi 1 ₹ wyniesie:

W podobny sposób możesz obliczyć ilość pieniędzy, które otrzymujesz w każdej godzinie, każdej minucie, każdej sekundzie, a nawet każdej milisekundie!

Więc, co obserwujesz? Wartość jest obliczana wraz ze wzrostem n przy użyciu ogólnego wzoru as

Można więc zauważyć, że wraz ze wzrostem wartości n wartość zbliża się coraz bardziej do pewnej wartości. To jest wartość „e”.

Ale Jacob Bernoulli nie obliczył wartości stałej. Wiedział tylko, że będzie to wartość między 2 a 3. Dopiero Euler ostatecznie obliczył tę stałą i udowodnił, że jest ona niewymierna. Użył wzoru do obliczenia wartości, a nie

Ale inna formuła. Zastosował następującą formułę.

To jest ułamek ciągły . Możesz powiedzieć, że jeśli to trwa w nieskończoność, istnieje wzór dla tego ułamka, 2,1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,……Więc jeśli to trwa w nieskończoność, wtedy jest to ułamek niewymierny. Gdyby się skończył, byłoby to racjonalne, ponieważ można to zapisać jako ułamek. Dowodzi to zatem, że „e” jest niewymierną stałą.

Aby obliczyć wartość „e”, Euler użył innego wzoru. To jest,

„e”, to naturalny język wzrostu, to naturalny język rachunku różniczkowego. Czemu?

Powyższy rysunek przedstawia wykres e^x. Specjalnością wykresu e^x jest to, że jeśli weźmiemy dowolny punkt na wykresie, wartość tego punktu wynosi e^x, gradient w tym punkcie wynosi e^x , a pole pod wykresem od tego punktu dalej do -∞ jest również e^x. Tak więc, kiedy całkujesz lub różniczkujesz e^x, otrzymujesz samo e^x. Ta stała „e” tworzy bardzo silne narzędzie w rachunku różniczkowym.

Wiadomo również, że stała Eulera „e” łączy niektóre duże stałe matematyczne w jedną formułę, to znaczy pierwiastek z -1, czyli i, π, 1 i 0. Jest to również wielokrotnie określane jako najbardziej piękne równanie z matematyki:

Więcej o tym równaniu napiszę w kolejnym artykule.