Perspektywa fizyki : wektory to strzałki skierowane w przestrzeń. Tym, co definiuje wektor, są długości i kierunek, w którym wskazuje. Wektory w płaskiej płaszczyźnie są dwuwymiarowe, a wektory w szerokiej przestrzeni są trójwymiarowe.

Perspektywa informatyki : Wektory to uporządkowana lista liczb. Jeśli długość listy wynosi 2, to wektor jest dwuwymiarowy.

Perspektywa matematyczna : Wektory to obiekty, które mają zarówno wielkość, jak i kierunek. Wielkość określa rozmiar wektora. Jest reprezentowany przez linię ze strzałką, gdzie długość linii jest wielkością wektora, a strzałka pokazuje kierunek. Jest również znany jako wektor euklidesowy lub wektor geometryczny lub wektor przestrzenny lub po prostu wektor .

Specyfika algebry wektorów

Dokładniej wektor to struktura danych z co najmniej dwoma składnikami, w przeciwieństwie do skalara. Skalary to tylko liczby. Możemy o nich myśleć jak o każdej zwykłej wartości, której używamy.

Współrzędne wektora to para liczb, które w zasadzie dają instrukcje, jak przejść od końca tego wektora w początku do jego wierzchołka. W wektorze każda współrzędna jest skalarem.

Dodawanie i skalowanie wektorów

Kombinacja liniowa oznacza sumowanie wektorów. Rozpiętość wektorów jest zbiorem wszystkich kombinacji liniowych wektorów.

Liniowa kombinacja V, W, U to aV+ bW+ cU

Rozpiętość tych wektorów to zbiór wszystkich możliwych kombinacji liniowych

Trzy swobodnie zmieniające się skalary dadzą dostęp do pełnego trójwymiarowego wymiaru przestrzeni.

Jeden z wektorów można wyrazić jako kombinację liniową innego, wtedy jest on liniowo zależny.

u=aV+bW

Jeśli każdy wektor dodaje kolejny wymiar do rozpiętości, to są one liniowo niezależne.

W!= aV (dla wszystkich wartości a)

Podstawa przestrzeni wektorowej to zbiór liniowo niezależnych wektorów obejmujących całą przestrzeń.

Iloczyn skalarny wektorów

Iloczyn skalarny między dwoma wektorami A i B rzutuje w na linię przechodzącą przez początek i wierzchołek wektora A.

ZA · B = | A| × |B| × cos(θ)

Iloczyn skalarny = (długość rzutowanego A) * (długość rzutowanego B)

• 2 wektory są skierowane w tym samym kierunku, iloczyn skalarny jest dodatni
• 2 wektory są prostopadłe, więc iloczyn skalarny jest równy zero
• 2 wektory są skierowane w przeciwnych kierunkach, więc iloczyn skalarny jest ujemny

Iloczyn krzyżowy wektorów

Iloczyn krzyżowy dwóch wektorów to trzeci wektor, który jest prostopadły do ​​dwóch pierwotnych wektorów. Jego wielkość jest określona przez obszar równoległoboku między nimi, a jego kierunek można określić za pomocą reguły prawej ręki. Iloczyn krzyżowy dwóch wektorów jest również znany jako iloczyn wektorowy, ponieważ wypadkowa iloczynu krzyżowego wektorów jest wielkością wektorową. Iloczyn krzyżowy ma zerową długość, gdy wektory a i b wskazują ten sam lub przeciwny kierunek i osiąga maksymalną długość, gdy wektory a i b są ustawione pod kątem prostym

A x B= |A| |B| grzech θ

Produkt krzyżowy daje wektor jako wynik

Podobieństwo cosinusowe

Cosinus Podobieństwo mierzy cosinus kąta między 2 niezerowymi wektorami wewnętrznej przestrzeni produktu. Ten pomiar podobieństwa dotyczy w szczególności orientacji, a nie wielkości. 2 wektory kosinusoidalne, które są wyrównane w tej samej orientacji, będą miały miarę podobieństwa 1, podczas gdy dwa wektory ustawione prostopadle będą miały podobieństwo 0. Jeśli dwa wektory są diametralnie przeciwne, co oznacza, że ​​są zorientowane w dokładnie przeciwnych kierunkach, to pomiar podobieństwa wynosi -1.

Normalizacja wektorów

Wektory mają wielkości, a różne wektory mogą mieć różne rozmiary. Czasami nie dbamy o rozmiar wektora, a interesuje nas tylko kierunek. Jeśli w ogóle nie zależy nam na wielkości, możemy po prostu nadać każdemu wektorowi ten sam rozmiar. Robimy to, dzieląc każdy wektor przez jego wielkość, w ten sposób nadając każdemu wektorowi wielkość równą 1, lub przekształcając je do wektora jednostkowego.

Algebra wektorów w uczeniu maszynowym

1. Maszyny nie potrafią czytać tekstu ani oglądać obrazów tak jak my. Potrzebują danych wejściowych, które zostaną przekształcone lub zakodowane w liczby. Wektory i macierze reprezentują dane wejściowe, takie jak tekst i obrazy, jako liczby, dzięki czemu możemy trenować i wdrażać nasze modele.
2. Celem większości projektów ML jest stworzenie modelu, który spełnia jakąś funkcję. W modelach głębokiego uczenia jest to osiągane za pośrednictwem sieci neuronowej, w której warstwy sieci neuronowej wykorzystują algebrę liniową (taką jak mnożenie macierzy i wektorów) do dostrojenia parametrów. W tym przypadku matematyczna definicja wektorów jest istotna dla ML. Obejmuje to zrozumienie przestrzeni wektorowych i tego, dlaczego są one ważne dla uczenia maszynowego.
3. Wyjściem modelu ML może być szereg różnych podmiotów w zależności od naszego celu i może to być również wektor. Na przykład modele NLP akceptują tekst, a następnie wyprowadzają wektor (nazywany osadzeniem) reprezentujący zdanie. Następnie możesz użyć tego wektora do wykonania szeregu operacji lub jako danych wejściowych do innego modelu. Wśród operacji, które możesz wykonać, są grupowanie podobnych zdań w przestrzeni wektorowej lub znajdowanie podobieństw między różnymi zdaniami za pomocą operacji takich jak podobieństwo cosinusowe.
4. Redukcja wymiarowości polega na konwersji danych o dużej wymiarowości na dane o mniejszej wymiarowości przy jednoczesnym zachowaniu większości informacji w danych. Pozwala nam to pracować na większych zbiorach danych i identyfikować najistotniejsze cechy danych.

Bibliografia