W mega-bestsellerowym thrillerze tajemniczym Dana Browna z 2003 r. „Kod Leonarda da Vinci” jest trochę rewanżu między bohaterem książki, Robertem Langdonem, a kryptografką Sophie Neveu, w której wyraża sceptycyzm co do wartości „wierzących żyjących wiary, które zawierają cuda. Wygląda na to, że ich rzeczywistość jest fałszywa” – szydzi.
Langdon śmieje się i mówi, że te przekonania nie są bardziej fałszywe niż przekonania matematycznego kryptografa, który wierzy w wyimaginowaną liczbę „i”, ponieważ pomaga jej złamać kody”.
Dla tych z nas, którzy nie mają skłonności do matematyki , żart Langdona był nieco zagadkowy. O czym do cholery mówi, kiedy mówi, że liczba jest urojona? Jak to możliwe?
Jak się jednak okazuje, liczba urojona – w zasadzie liczba, która po podniesieniu do kwadratu daje liczbę ujemną – naprawdę jest rzeczą w matematyce, odkrytą po raz pierwszy w XIV i XVI wieku jako sposób rozwiązywania pewnych kłopotliwych równań. Chociaż początkowo uważano je za rodzaj salonowej sztuczki, w ciągu wieków zaczęły być postrzegane jako narzędzie do konceptualizacji świata w złożony sposób, a dziś są przydatne w dziedzinach od elektrotechniki po mechanikę kwantową.
„Wymyśliliśmy liczby urojone z tych samych powodów, dla których wymyśliliśmy liczby ujemne”, wyjaśnia Cristopher Moore . Jest fizykiem w Instytucie Santa Fe , niezależnej instytucji badawczej w Nowym Meksyku, oraz współautorem, wraz ze Stephanem Mertensem, książki z 2011 roku „ The Nature of Computation ”.
„Zacznij od zwykłej arytmetyki” – kontynuuje Moore. „Co to jest dwa minus siedem? Jeśli nigdy nie słyszałeś o liczbach ujemnych, to nie ma sensu. Nie ma odpowiedzi. Nie możesz mieć ujemnych pięciu jabłek, prawda? Ale pomyśl o tym w ten sposób. pięć jabłek lub pięć dolarów. Kiedy ludzie zaczęli zajmować się rachunkowością i księgowością, potrzebowaliśmy tej koncepcji. Podobnie dzisiaj wszyscy znamy pomysł, że jeśli wypisujemy duże czeki, aby zapłacić za rzeczy, ale nie mamy wystarczająco dużo pieniędzy na ich pokrycie, możemy mieć ujemne saldo na naszych rachunkach bankowych.
Kreatywne myślenie ma długą drogę
Moore mówi, że innym sposobem patrzenia na liczby ujemne – a to przyda się później – jest myślenie o spacerowaniu po okolicy miasta. Jeśli skręcisz w złą stronę w przeciwnym kierunku od naszego celu — powiedzmy pięć przecznic na południe, kiedy powinieneś był skręcić na północ — możesz pomyśleć o tym, jak o przejściu pięciu ujemnych przecznic na północ.
„Wynajdując liczby ujemne, poszerzamy matematyczny wszechświat i umożliwiamy mówienie o rzeczach, które wcześniej były trudne” – mówi Moore.
Liczby urojone i liczby zespolone — czyli liczby zawierające element urojony — to kolejny przykład tego rodzaju kreatywnego myślenia. Jak wyjaśnia Moore: „Jeśli zapytam, jaki jest pierwiastek kwadratowy z dziewięciu, to proste, prawda? Odpowiedź to trzy – chociaż może to być również ujemna trzy”, ponieważ pomnożenie dwóch ujemnych wyników daje dodatni .
Ale jaki jest pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej? Czy istnieje liczba pomnożona przez samą siebie, która daje ujemną? „Na jednym poziomie nie ma takiej liczby” – mówi Moore.
Ale matematycy renesansu wymyślili sprytny sposób obejścia tego problemu. „Zanim wymyśliliśmy liczby ujemne, nie było takiej liczby, która wynosiłaby dwa minus siedem”, kontynuuje Moore. „Więc może powinniśmy wymyślić liczbę, która jest pierwiastkiem kwadratowym negatywny. Dajmy mu nazwę. I. ”
Kiedy wpadli na pomysł liczby wyimaginowanej, matematycy odkryli, że mogą z nią zrobić naprawdę fajne rzeczy. Pamiętaj, że pomnożenie liczby dodatniej przez liczbę ujemną daje wynik ujemny, ale pomnożenie dwóch liczb ujemnych przez siebie daje wynik dodatni. Ale co się stanie, gdy zaczniesz mnożyć i razy siedem, a potem znowu razy i ? Ponieważ i razy i jest ujemna, odpowiedź to ujemna siódemka. Ale jeśli pomnożysz siedem razy i razy i razy i razy i , nagle otrzymasz dodatnią siódemkę. „Wykluczają się nawzajem” – zauważa Moore.
Pomyśl o tym. Wziąłeś wyimaginowaną liczbę, kilka razy podłączyłeś ją do równania i w rezultacie uzyskałeś rzeczywistą liczbę, której często używasz w prawdziwym świecie.
Liczby urojone to punkty na płaszczyźnie Plan
Dopiero kilkaset lat później, na początku XIX wieku, matematycy odkryli inny sposób rozumienia liczb urojonych, myśląc o nich jako o punktach na płaszczyźnie, wyjaśnia Mark Levi . Jest profesorem i kierownikiem wydziału matematyki na Penn State University oraz autorem książki z 2012 roku „Why Cats Land on Their Feet: And 76 Other Physical Paradoxs and Puzzles”.
Kiedy myślimy o liczbach jak o punktach na prostej, a następnie dodajemy drugi wymiar, „punkty na tej płaszczyźnie są liczbami urojonymi”, mówi.
Wyobraź sobie linię liczbową. Kiedy myślisz o liczbie ujemnej, jest ona oddalona o 180 stopni od liczb dodatnich na linii. „Kiedy mnożysz dwie liczby ujemne, dodajesz ich kąty, 180 stopni plus 180 stopni, i otrzymujesz 360 stopni. Dlatego jest to wynik dodatni” – wyjaśnia Levi.
Ale nie możesz umieścić pierwiastka kwadratowego z liczby ujemnej w dowolnym miejscu na osi X. To po prostu nie działa. Jeśli jednak utworzysz oś Y, która jest prostopadła do X, masz teraz miejsce na jej umieszczenie.
I chociaż liczby urojone wydają się tylko garstką matematycznego olśnienia, w rzeczywistości są bardzo przydatne do niektórych ważnych obliczeń we współczesnym świecie technologicznym, takich jak obliczanie przepływu powietrza nad skrzydłem samolotu lub obliczanie zużycia energii od oporu połączonego z drganiami w układzie elektrycznym. A fikcyjny Robert Langdon nie szarpał za nasze nogi, kiedy wspomniał, że są one również używane w kryptografii.
Liczby zespolone ze składnikami urojonymi są również przydatne w fizyce teoretycznej, wyjaśnia Rolando Somma , fizyk pracujący nad algorytmami obliczeń kwantowych w Los Alamos National Laboratory.
„Ze względu na ich związek z funkcjami trygonometrycznymi są one przydatne do opisywania na przykład funkcji okresowych”, mówi Somma w e-mailu. „Powstają one jako rozwiązania równań falowych, więc używamy liczb zespolonych do opisania różnych fal, takich jak fala elektromagnetyczna. Tak więc, podobnie jak w matematyce, rachunek różniczkowy w fizyce jest niezwykle przydatnym narzędziem do upraszczania obliczeń”.
Liczby zespolone odgrywają również rolę w mechanice kwantowej, teorii opisującej zachowanie przyrody w skali atomów i cząstek subatomowych.
„W mechanice kwantowej 'i' pojawia się wyraźnie w równaniu Schrödingera ” – wyjaśnia Somma. „W związku z tym liczby zespolone wydają się odgrywać bardziej fundamentalną rolę w mechanice kwantowej, a nie tylko służyć jako użyteczne narzędzie obliczeniowe”.
„Stan układu kwantowego opisuje jego funkcja falowa” – kontynuuje. „Jako rozwiązanie równania Schrodingera ta funkcja falowa jest superpozycją pewnych stanów, a liczby pojawiające się w superpozycji są złożone. Na przykład zjawiska interferencji w fizyce kwantowej można łatwo opisać za pomocą liczb zespolonych”.
Teraz to ciekawe
Liczby urojone są również wspomniane w powieści Thomasa Pynchona z 2012 roku „ Przeciw dzień ”.
