Fraktale i ich wymiary

Fraktale to szalone kształty, które pokazują porządek i wzory w chaotycznych projektach. Ma wiele fascynujących zakrętów. Te interesujące wzory zostały indywidualnie zbadane ze względu na ich unikalne właściwości. Jednym z nich jest trójkąt Sierpińskiego .

Trójkąt Sierpińskiego jest w zasadzie trójkątem równobocznym, który jest podzielony na cztery trójkąty równoboczne (jak pokazano na poniższym obrazku), a środkowy trójkąt jest usunięty. Następnie te podtrójkąty są ponownie podobnie dzielone na cztery trójkąty równoboczne, a środkowy trójkąt jest usuwany. Ten proces jest iterowany w nieskończoność, a otrzymany trójkąt zespolony to trójkąt Sierpińskiego. Teraz, jeśli w trójkącie Pascala wszystkie liczby nieparzyste są pokolorowane na czarno, a parzyste na biało, to ostatecznie otrzymamy trójkąt Sierpińskiego. Niespodziewane, prawda?

Fraktale to nie tylko przypadkowe kształty lub wzory stworzone matematycznie. Było to również widoczne na wykresie populacji. Zaobserwowano, że żywność rosła liniowo, ale liczba ludności rosła wykładniczo. Później odkryto, że populacja nie rosła w ten sposób. Przez kilka lat rosła, po czym z powodu niedostatku żywności i surowców ponownie spadła. Te zmiany populacji przebiegały zgodnie z prostą funkcją,

[Niech powyższe równanie oznaczymy (1).]

Gdzie X to populacja z bieżącego roku, a X_następny to populacja z roku następującego po X, a r to pewna stała, którą można dostosować zgodnie z modelowaną populacją. Aby obserwować długoterminowe zachowanie systemów, formułę tę powtarzano w kółko i obserwowano, co się stanie. Ten proces nazywa się iteracją.

Równanie (1) wykreśla się, przyjmując „r” jako 3,5 i zakładając hipotetyczną sytuację, że wartość X mieści się tylko między 0 a 1, i iteruje w nieskończoność. Otrzymano następujący wykres:

Ten wykres został uznany za fraktal, ponieważ pokazywał w nim właściwość samopodobieństwa. Kiedy powiększysz „okno porządku” wykresu, które jest szeroką przerwą na wykresie, zauważysz ten sam oryginalny wykres ponownie obecny w tym oknie. Im bardziej się przybliżysz, tym samym raz po raz znajdziesz ten sam wykres w oknie chaosu. Ten fraktal był określany jako „drzewo figowe”.

Jak wspomniałem w jednym z moich poprzednich artykułów, fraktale to kształty, które są szorstkie i nieregularne. Tę chropowatość i nieregularność można łatwo obliczyć. W jaki sposób? Obliczając ich wymiar fraktalny. Felix Hausdorff i Abram Besicovitch odkryli, że fraktale mają wymiary niecałkowite. Opisali, że fraktale to krzywe, które mają wymiar „pomiędzy” wymiarami całkowitymi. Te wymiary fraktalne są zatem określane również jako wymiar Hausdorffa-Besicovitcha. Ale jak obliczyć te wymiary? Istnieją dwie główne metody, których można użyć do łatwego obliczenia wymiaru.

Po pierwsze, wykorzystując właściwość samopodobieństwa, którą posiadają fraktale. Weźmy kształty o znanych wymiarach 1,2 i 3. Dla wymiaru pierwszego, weźmy linię o długości 1 jednostki i zmniejszmy ją do 1/4 jej oryginalnej długości. Więc jego długość wynosi teraz 1/4 jednostek. Aby otrzymać pierwotną długość, musimy czterokrotnie pomnożyć tę 1/4 linii. Niech współczynnikiem, o który linia jest zmniejszana, będzie „s”, liczba, przez którą „s” jest mnożona w celu uzyskania oryginalnej długości, będzie „n”, a wymiar „D”. W ten sposób zauważyłbyś, że w tym przypadku

Ta formuła jest ważna dla dowolnego wymiaru. Załóżmy, że spróbujemy to udowodnić, używając pola dwuwymiarowego kształtu. Zmniejszmy więc każdy bok kwadratu o długości jednostkowej do 1/2 jego pierwotnej długości, tak aby jego powierzchnia została zmniejszona o. 1/4. Tak więc, aby wrócić do pierwotnego kwadratu, musimy pomnożyć przeskalowany kwadrat 4 razy.

Zatem D = 2, co było wymaganym wymiarem.
Podobnie można to udowodnić dla trójwymiarowego kształtu.

Zatem znalezione ogólne równanie to:

Równanie (2) jest jednym ze wzorów, za pomocą którego można znaleźć wymiar fraktalny kształtu. Załóżmy teraz, że bierzemy krzywą Kocha,

Przy podanych powyżej wartościach n i s, jeśli spróbujemy obliczyć jego wymiar fraktalny za pomocą równania (2), otrzymamy w przybliżeniu 1,26 . To jest wymiar fraktalnej krzywej Kocha.

Po drugie, za pomocą metody liczenia siatki.
W tej metodzie wystarczy narysować siatki na obrazie fraktalnym, a każde pole w nim ma skalę 1 jednostki. Następnie ponownie narysuj na nim siatkę, ale tym razem każde pudełko ma skalę 1/2. Ponownie, z każdym pudełkiem mającym skalę 1/4. Policz, przez ile pudełek przechodzi fraktal. Możesz obliczyć wymiar za pomocą następującego wzoru,

gdzie n( ) to liczba kwadratów zawierających obraz, a 1/s to jego skala siatki. Możemy teraz obliczyć wymiar krzywej Kocha. Poniżej podano trzy siatki skali w stosunku 1 : 1/2 : 1/4. Po zliczeniu stwierdzono, że liczba pudełek pierwszej, drugiej i trzeciej siatki wynosi odpowiednio 18, 41 i 105.

Obliczanie wymiaru za pomocą siatki skali 1 i 1/2,

Obliczanie wymiaru za pomocą siatki skali 1 i 1/4,

Obliczanie wymiaru za pomocą siatki skali 1/2 i 1/4,

Znajdując średnią z tych trzech wartości, stwierdzono, że wynosi ona około 1,27. Jest to bliskie wartości 1,26, która jest pierwotnym wymiarem krzywej Kocha.

Są to zatem dwa proste sposoby obliczania wymiaru fraktalnego obrazu fraktalnego.