Prawdopodobnie masz intuicyjne wyobrażenie o tym, czym jest koło : kształt kosza do koszykówki, koła lub ćwiartki. Być może pamiętasz nawet z liceum, że promień to dowolna prosta, która zaczyna się od środka koła i kończy na jego obwodzie.
Okrąg jednostkowy to po prostu okrąg o promieniu o długości 1. Ale często towarzyszy mu kilka innych dzwonków i gwizdków.
Okrąg jednostkowy może być użyty do zdefiniowania relacji w trójkącie prostokątnym, znanych jako sinus, cosinus i tangens. Relacje te opisują, jak kąty i boki trójkąta prostokątnego odnoszą się do siebie. Powiedzmy na przykład, że mamy trójkąt prostokątny o kącie 30 stopni, którego najdłuższy bok lub przeciwprostokątna ma długość 7. Możemy użyć naszych predefiniowanych relacji w trójkącie prostokątnym, aby obliczyć długości pozostałych dwóch boków trójkąta .
Ta gałąź matematyki, znana jako trygonometria , ma codzienne praktyczne zastosowania, takie jak budownictwo, GPS, hydraulika, gry wideo, inżynieria, stolarstwo i nawigacja lotnicza.
Aby zapamiętać standardowy okrąg jednostkowy, musimy być w stanie przypomnieć sobie trzy główne komponenty:
- Cztery ćwiartki
- 16 kątów
- (x, y) współrzędne dla każdego z 16 kątów, gdzie promień styka się z obwodem koła
Aby nam pomóc, przypomnimy sobie wycieczkę do Unit Pizza Palace. Poświęć kilka chwil na zapamiętanie następujących rzeczy, aż będziesz mógł je recytować bez patrzenia:
- 4 plastry pizzy
- 3 ciasta za 6 USD
- 2 kwadratowe stoły
- 1 , 2, 3
Krok 1: 4 plastry pizzy
Wyobraź sobie jedną całą pizzę pokrojoną w cztery równe plasterki. W matematyce nazwalibyśmy te cztery części ćwiartkami koła .
Możemy użyć współrzędnych (x, y) do opisania dowolnego punktu wzdłuż zewnętrznej krawędzi koła. Współrzędna x reprezentuje odległość przebytą w lewo lub w prawo od środka. Współrzędna y przedstawia odległość pokonaną w górę lub w dół. Współrzędna x jest cosinusem kąta utworzonego przez punkt, początek i oś x. Współrzędna y jest sinusem kąta.
W okręgu jednostkowym prosta linia biegnąca w prawo od środka okręgu osiągnie krawędź okręgu na współrzędnej (1, 0). Gdybyśmy zamiast tego poszli w górę, w lewo lub w dół, dotknęlibyśmy obwodu odpowiednio w (0, 1), (-1, 0) lub (0, -1).
Wszystkie cztery powiązane kąty (w radianach, a nie w stopniach) mają mianownik 2. (Radian to kąt utworzony podczas objęcia promienia i owinięcia go wokół koła. Stopień mierzy kąt na podstawie przebytej odległości. Okrąg ma 360 stopni lub 2π radianów).
Liczniki zaczynają się od 0, rozpoczynając od współrzędnej (1,0) i zliczają w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara o 1π. Ten proces da 0π / 2, 1π / 2, 2π / 2 i 3π / 2. Uprość te ułamki, aby otrzymać 0, π / 2, π i 3π / 2.quad
Krok 2: 3 placki za 6 USD
Zacznij od „3 ciasta”. Spójrz na oś Y. Wszystkie kąty w radianach bezpośrednio po prawej i lewej stronie osi y mają mianownik 3. Każdy pozostały kąt ma licznik zawierający wartość matematyczną pi, zapisaną jako π.
„3 wycinki na 6” służy do przywołania pozostałych 12 kątów w standardowym okręgu jednostkowym, z trzema kątami w każdym kwadrancie. Każdy z tych kątów jest zapisywany jako ułamek.
„Za 6 $” ma nam przypominać, że w każdym kwadrancie pozostałe mianowniki to 4, a następnie 6.
Najtrudniejszą częścią tego kroku jest uzupełnienie licznika dla każdego ułamka.
W ćwiartce 2 (lewa górna ćwiartka koła) umieść 2, następnie 3, a następnie 5 przed π.
Twój pierwszy kąt w ćwiartce 2 będzie wynosił 2π / 3. Dodanie do siebie 2 w liczniku i 3 w mianowniku da 5. Spójrz na kąt prosty w ćwiartce 4 (dolna prawa ćwiartka koła). Umieść tę 5 w liczniku przed π. Powtórz ten proces dla pozostałych dwóch kątów w ćwiartkach 2 i 4.
Powtórzymy ten sam proces dla ćwiartek 1 (prawy górny) i 3 (lewy dolny). Pamiętaj, że tak jak x jest tym samym co 1x, π jest tym samym co 1π. Więc dodajemy 1 do wszystkich mianowników w ćwiartce 1.
Proces wyliczania kątów w stopniach (zamiast w radianach) opisano na końcu tego artykułu.
Krok 3: 2 stoły kwadratowe
„2” w „2 kwadratowych tabelach” ma nam przypominać, że wszystkie pozostałe 12 par współrzędnych ma mianownik 2.
„Kwadrat” ma nam przypominać, że licznik każdej współrzędnej zawiera pierwiastek kwadratowy. Zaczynamy tylko od kwadrantu 1, aby uprościć sprawę. (Wskazówka: pamiętaj, że pierwiastek kwadratowy z 1 to 1, więc te ułamki można uprościć do zaledwie 1/2).
Krok 4: 1, 2, 3
„1, 2, 3” pokazuje nam kolejność liczb pod każdym pierwiastkiem kwadratowym. Dla współrzędnych x kwadrantu 1 liczymy od 1 do 3, zaczynając od górnej współrzędnej i schodząc w dół.
Współrzędne y mają te same liczniki, ale liczą się od 1 do 3 w przeciwnym kierunku, od dołu do góry.
Kwadrant 2 ma te same współrzędne co kwadrant 1, ale współrzędne x są ujemne.
Kwadrant 3 przełącza współrzędne x i y z kwadrantu 1. Wszystkie współrzędne x i y są również ujemne.
Podobnie jak kwadrant 3, kwadrant 4 również przełącza współrzędne x i y z kwadrantu 1. Ale tylko współrzędne y są ujemne.
Kąty w stopniach
Możesz chcieć odnosić się do kątów w stopniach zamiast w radianach. Aby to zrobić, zacznij od 0 stopni na współrzędnej (1,0). Stamtąd dodamy 30, 15, 15, a następnie 30. W kwadrancie 1 dodajemy 30 do 0, aby uzyskać 30, dodajemy 15 do 30, aby uzyskać 45, dodajemy 15 do 45, aby uzyskać 60, i dodajemy 30 do 60, aby uzyskać 90.
Następnie powtarzamy ten proces dla pozostałych ćwiartek, dodając 30, 15, 15 i 30, aż dojdziemy do końca koła. Zatem kwadrant 4 będzie miał kąty w zakresie od 270 do 330 stopni (patrz rysunek 10).
Wprowadzenie w praktykę
Wcześniej w artykule wspomnieliśmy, że koło jednostkowe można wykorzystać do znalezienia dwóch nieznanych boków trójkąta prostokątnego o kącie 30 stopni, którego najdłuższy bok, czyli przeciwprostokątna, ma długość 7. Spróbujmy.
Zwróć uwagę na 30 ° na okręgu jednostkowym. Użyj tej linii i osi X, aby utworzyć trójkąt w następujący sposób.
W okręgu jednostkowym każda linia, która zaczyna się w środku okręgu i kończy na jego obwodzie, będzie miała długość 1. Zatem najdłuższy bok tego trójkąta będzie miał długość 1. Najdłuższy bok trójkąta prostokątnego to znany również jako „przeciwprostokątna”. Punkt, w którym przeciwprostokątna dotyka obwodu koła, znajduje się na √3 / 2, 1/2.
Wiemy więc, że podstawa trójkąta (na osi x) ma długość √3 / 2, a wysokość trójkąta wynosi 1/2.
Innym sposobem myślenia o tym jest to, że podstawa jest √3 / 2 razy dłuższa od przeciwprostokątnej, a wysokość jest 1/2 razy dłuższa od przeciwprostokątnej.
Więc jeśli zamiast tego przeciwprostokątna ma długość 7, nasza podstawa trójkąta będzie wynosić 7 x √3 / 2 = 7√3 / 2. Wysokość trójkąta będzie miała długość 7 x 1/2 = 7/2.
Teraz to jest interesujące
Uważa się, że trygonometria została pierwotnie opracowana w I wieku pne, aby zrozumieć astronomię, badanie gwiazd i Układu Słonecznego. Nadal jest używany w eksploracji kosmosu przez NASA i prywatne firmy zajmujące się transportem kosmicznym.
