Kiedy słyszysz słowa „racjonalny” i „irracjonalny”, może to przywodzić na myśl różnicę między, powiedzmy, chłodnym, nieubłaganie analitycznym Mr. Spockiem a twardym, niestabilnym emocjonalnie dr. wszechświat telewizji i filmu. Jeśli jednak nie jesteś matematykiem , prawdopodobnie nie myślisz o stosunkach między liczbami całkowitymi a pierwiastkami kwadratowymi, takich rzeczach, które sprawiają, że nie-matematycy wśród nas czują się tak zdezorientowani, jak słyszymy „Bohemian Rhapsody” Queen śpiewane po klingońsku .
Ale w matematyce, gdzie słowa mają czasami specyficzne znaczenie, bardzo różniące się od codziennego użycia, różnica między liczbami wymiernymi i niewymiernymi nie ma nic wspólnego z rozumowaniem i logiką w porównaniu z surowymi popędami emocjonalnymi.
Zapamiętaj słowo „stosunek”
„Pamiętając różnicę między liczbami wymiernymi i niewymiernymi, pomyśl o jednym słowie: stosunek” – wyjaśnia Eric D. Kolaczyk . Jest profesorem na wydziale matematyki i statystyki na Uniwersytecie w Bostonie oraz dyrektorem uniwersyteckiego Instytutu Informatyki i Nauki Obliczeniowej i Inżynierii im. Rafika B. Hariri .
„Jeśli możesz zapisać liczbę jako stosunek dwóch liczb całkowitych (np. 1 przez 10, -5 przez 23, 1543 przez 10 itd.), to umieszczamy ją w kategorii liczb wymiernych” – wyjaśnia Kolaczyk w e-mailu. „W przeciwnym razie mówimy, że jest to irracjonalne”.
Możesz wyrazić liczbę całkowitą lub ułamek — części liczb całkowitych — jako stosunek, z liczbą całkowitą zwaną licznikiem nad inną liczbą całkowitą zwaną mianownikiem. Dzielisz mianownik na licznik. To może dać ci liczbę, taką jak 1/4 lub 500/10 (inaczej znana jako 50).
Liczby niewymierne, w przeciwieństwie do liczb wymiernych, są dość skomplikowane. Jak wyjaśnia Wolfram MathWorld , nie można ich wyrazić za pomocą ułamków, a kiedy próbujesz zapisać je jako liczbę z przecinkiem , cyfry po prostu idą dalej i dalej, bez zatrzymywania się lub powtarzania wzoru.
Więc jakie liczby zachowują się w tak szalony sposób? Zasadniczo takie, które opisują skomplikowane rzeczy. Być może najbardziej znaną liczbą niewymierną jest pi — czasami zapisywana jako π, grecka litera p — która wyraża stosunek obwodu koła do średnicy tego koła. Jak wyjaśnił matematyk Steven Bogart w artykule z 1999 roku w Scientific American , stosunek ten zawsze będzie równy pi, niezależnie od wielkości koła. Od najwcześniejszych próbAby obliczyć liczbę pi, babilońscy matematycy przeprowadzili prawie 4000 lat temu, kolejne pokolenia matematyków ciągle się odczepiły i wymyślały coraz dłuższe ciągi dziesiętne z nie powtarzającymi się wzorami. W 2019 r. badacz Google Hakura Iwao zdołał rozszerzyć liczbę pi do 31 415 926 535 897 cyfr, jak wyszczególnia ten artykuł w Cnet .
Czasami pierwiastek kwadratowy — to znaczy czynnik liczby, który po pomnożeniu przez siebie daje liczbę, od której zacząłeś — jest liczbą niewymierną, chyba że jest to idealny kwadrat, który jest liczbą całkowitą, na przykład 4, pierwiastek kwadratowy of 16. Jednym z najbardziej rzucających się w oczy przykładów jest pierwiastek kwadratowy z 2 , który daje 1,414 plus niekończący się ciąg niepowtarzających się cyfr. Wartość ta odpowiada długości przekątnej w kwadracie, jak po raz pierwszy opisali starożytni Grecy w twierdzeniu Pitagorasa .
Dlaczego używamy słów „racjonalny” i „irracjonalny”?
Dlaczego nazywamy je racjonalnymi i irracjonalnymi? To wydaje się być trochę mętne. „Rzeczywiście zazwyczaj używamy słowa „racjonalny”, aby oznaczać coś bardziej opartego na przyczynie lub podobnej” – mówi Kolaczyk. „Wydaje się, że jego użycie w matematyce pojawiło się już w XIII wieku w źródłach brytyjskich (zgodnie z Oxford English Dictionary). root jest o „rozumowaniu”, ogólnie mówiąc”.
Oczywiste jest to, że zarówno liczby racjonalne, jak i irracjonalne odegrały ważną rolę w postępie cywilizacji. O ile język prawdopodobnie sięga początków gatunku ludzkiego, o tyle liczby pojawiły się znacznie później – tłumaczy Mark Zegarelli , nauczyciel matematyki i autor, który napisał 10 książek z serii „For Dummies”. Łowcy-zbieracze, jak mówi, prawdopodobnie nie potrzebowali dużej precyzji numerycznej, poza umiejętnością zgrubnego oszacowania i porównania ilości.
„Potrzebowali koncepcji typu „nie mamy już jabłek” – mówi Zegarelli. „Nie musieli wiedzieć, »mamy dokładnie 152 jabłka«”.
Ale kiedy ludzie zaczęli wycinać działki ziemi, aby tworzyć farmy, wznosić miasta oraz wytwarzać i handlować towarami, podróżując dalej od swoich domów, potrzebowali bardziej złożonej matematyki.
„Załóżmy, że budujesz dom z dachem, którego wzniesienie ma taką samą długość, jak bieg od podstawy w najwyższym punkcie” – mówi Kolaczyk. „Jak długi jest odcinek samej powierzchni dachu od górnej do zewnętrznej krawędzi? Zawsze jest to czynnik pierwiastka kwadratowego z 2 wzrostu (biegu). To również jest liczba niewymierna”.
Według Carrie Manore w zaawansowanym technologicznie XXI wieku liczby irracjonalne nadal odgrywają kluczową rolę . Jest naukowcem i matematykiem w Information Systems and Modeling Group w Los Alamos National Laboratory .
„Pi to oczywista pierwsza irracjonalna liczba, o której należy mówić”, mówi Manore w e-mailu. „Potrzebujemy go do określenia powierzchni i obwodu okręgów. Jest to kluczowe dla obliczania kątów, a kąty mają kluczowe znaczenie dla nawigacji, budownictwa, geodezji, inżynierii i nie tylko. Komunikacja radiowa jest zależna od sinusów i cosinusów , które obejmują pi”. Ponadto liczby irracjonalne odgrywają kluczową rolę w złożonej matematyce, która umożliwia handel akcjami o wysokiej częstotliwości, modelowanie, prognozowanie i większość analiz statystycznych — wszystkie te czynności, które sprawiają, że nasze społeczeństwo jest w ruchu.
Możnaby wymieniać dalej ... „W rzeczywistości w naszym współczesnym świecie prawie sensowne jest pytanie, gdzie NIE są używane liczby niewymierne?” mówi Manore.
Teraz to jest interesujące
Obliczeniowo „prawie zawsze używamy przybliżeń tych irracjonalnych liczb do rozwiązywania problemów” – wyjaśnia Manore. „ Te przybliżenia są racjonalne, ponieważ komputery mogą obliczać tylko z pewną precyzją. Chociaż koncepcja liczb niewymiernych jest wszechobecna w nauce i inżynierii, można argumentować, że w rzeczywistości nigdy nie używamy prawdziwej liczby niewymiernej w praktyce”.
