Jeśli tylko niejasno pamiętasz zajęcia z matematyki w szkole podstawowej, możesz nie pamiętać, czym jest liczba pierwsza. Szkoda, bo jeśli próbujesz chronić swoje e-maile przed hakerami lub poufnie surfować po Internecie w wirtualnej sieci prywatnej (VPN), używasz liczb pierwszych, nawet nie zdając sobie z tego sprawy.
Dzieje się tak dlatego, że liczby pierwsze są kluczową częścią szyfrowania RSA , wspólnego narzędzia do ochrony informacji, które wykorzystuje liczby pierwsze jako klucze do odblokowania wiadomości ukrytych w gigantycznych ilościach tego, co ukrywa się jako cyfrowy bełkot. Ponadto liczby pierwsze mają inne zastosowania we współczesnym świecie technologii, w tym ważną rolę w określaniu intensywności kolorów pikseli na ekranie komputera, na który teraz patrzysz.
Czym właściwie są liczby pierwsze? I jak stały się tak ważne we współczesnym świecie?
Jak wyjaśnia Wolfram MathWorld , liczba pierwsza – znana również po prostu jako liczba pierwsza – jest liczbą dodatnią większą od 1, którą można podzielić tylko przez jeden i przez samą siebie.
„Jedyna parzysta liczba pierwsza to 2”, wyjaśnia Debi Mink , niedawno emerytowana profesor pedagogiki na Indiana University Southeast, której doświadczenie obejmuje nauczanie elementarnych matematyki. „Wszystkie inne liczby pierwsze są liczbami nieparzystymi”.
Liczby takie jak 2, 3, 5, 7, 11, 13 i 17 są uważane za liczby pierwsze. Liczby takie jak 4, 6, 8, 9, 10 i 12 nie są.
Mark Zegarelli, autor licznych książek o matematyce w popularnej serii „For Dummies”, który prowadzi również kursy przygotowawcze do testów, oferuje ilustrację z monetami, którą wykorzystuje z niektórymi swoimi uczniami, aby wyjaśnić różnicę między liczbami pierwszymi a złożonymi , co można podzielone przez inne liczby oprócz jedynki i siebie. (Liczby złożone są przeciwieństwem liczb pierwszych).
„Pomyśl o liczbie 6” – mówi Zegarelli, powołując się na liczbę złożoną. „Wyobraź sobie, że masz sześć monet. Możesz ułożyć je w prostokąt, z dwoma rzędami po trzy monety. Możesz to zrobić również za pomocą ośmiu, umieszczając cztery monety w dwóch rzędach. więcej niż jeden rodzaj prostokąta — możesz mieć dwa rzędy po sześć monet lub trzy razy cztery ”.
„Ale jeśli weźmiesz numer 5, to bez względu na to, jak się starasz, nie da się umieścić go w prostokącie” – zauważa Zegarelli. „Najlepiej, co możesz to zrobić, to ułożyć go w linię, pojedynczy rząd pięciu monet. Więc możesz nazwać 5 liczbą nieprostokątną. Ale łatwiej to powiedzieć, nazywając to liczbą pierwszą”.
Istnieje wiele innych liczb pierwszych — 2, 3, 7 i 11 również znajdują się na liście i dalej się toczą. Grecki matematyk Euklides około 300 pne opracował dowód nieskończoności liczb pierwszych, który mógł być pierwszym matematycznym dowodem pokazującym, że istnieje nieskończona liczba liczb pierwszych. (W starożytnej Grecji, gdzie współczesna koncepcja nieskończoności nie była do końca rozumiana, Euklides opisał liczbę liczb pierwszych po prostu jako „więcej niż jakakolwiek przypisana mnogość liczb pierwszych” ).
Innym sposobem rozumienia liczb pierwszych i liczb złożonych jest myślenie o nich jako o produkcie czynników, mówi Zegarelli. „2 razy 3 równa się 6, więc 2 i 3 są dzielnikami 6. Są więc dwa sposoby na zrobienie sześciu — 1 razy 6 i 2 razy 3. Lubię myśleć o nich jako o parach czynników. liczba, masz wiele par czynników, podczas gdy w przypadku liczby pierwszej masz tylko jedną parę czynników, jednokrotność samej liczby.”
Udowodnienie, że liczba liczb pierwszych jest nieskończona, nie jest takie trudne, mówi Zegarelli. „Wyobraź sobie, że istnieje ostatnia, największa liczba pierwsza. Nazwiemy ją P. Więc wezmę wszystkie liczby pierwsze do P i pomnożę je wszystkie razem. Jeśli to zrobię i dodam jedną do iloczynu , ta liczba musi być liczbą pierwszą.”
Jeśli liczba jest złożona, to zawsze jest podzielna przez pewną ilość niższych liczb pierwszych. „Złożony może być również podzielny przez inne złożone, ale ostatecznie można go rozłożyć na zbiór liczb pierwszych”. (Przykład: liczba 48 ma 6 i 8 jako czynniki, ale można ją dalej rozbić na 2 razy 3 razy 2 razy 2 razy 2.)
Dlaczego liczby pierwsze są ważne
Dlaczego więc liczby pierwsze od tysięcy lat fascynują matematyków? Jak wyjaśnia Zegarelli, wiele wyższej matematyki opiera się na liczbach pierwszych. Ale jest też kryptografia, w której liczby pierwsze mają krytyczne znaczenie, ponieważ naprawdę duże liczby mają szczególnie cenną cechę. Nie ma szybkiego i łatwego sposobu, aby stwierdzić, czy są one pierwszorzędne, czy złożone, mówi.
Trudność w rozróżnieniu między ogromnymi liczbami pierwszymi a ogromnymi liczbami złożonymi umożliwia kryptografowi wymyślenie ogromnych liczb złożonych, które są dzielnikami dwóch naprawdę dużych liczb pierwszych, składających się z setek cyfr.
„Wyobraź sobie, że zamek w twoich drzwiach to 400-cyfrowy numer” – mówi Zegarelli. „Klucz jest jedną z 200-cyfrowych liczb, które zostały użyte do stworzenia tego 400-cyfrowego numeru. Jeśli mam jeden z tych elementów w kieszeni, mam klucz do domu”. Ale jeśli nie nie ma tych czynników, cholernie trudno jest się tam dostać.
Dlatego matematycy nadal pracowali, aby wymyślić coraz większe liczby pierwsze, w trwającym projekcie o nazwie Great Internet Mersenne Prime Search . W 2018 r. projekt ten doprowadził do odkrycia liczby pierwszej, która składała się z 23 249 425 cyfr, co wystarczało do zapełnienia 9000 stron książki, jak opisał to matematyk z University of Portsmouth (Anglia) Ittay Weiss w The Conversation . Obliczenia zajęły 14 lat, aby uzyskać gigantyczną liczbę pierwszą, która jest ponad 230 000 razy większa niż szacowana liczba atomów w obserwowalnym wszechświecie!
Możesz sobie wyobrazić, jakie wrażenie wywarło to na Euklidesie.
Teraz to jest fajne
Chociaż wielu uważa, że liczby pierwsze są losowe, w artykule z 2016 r. dwóch matematyków ze Stanford University opisało wcześniej nieznany pozorny wzór, w którym po liczbach pierwszych następowały inne liczby pierwsze kończące się określonymi cyframi, jak szczegółowo opisuje ten artykuł w sieci Wired . Na przykład, wśród pierwszych miliardów liczb pierwszych, po zakończeniu liczby 9 występuje o 65 procent większe prawdopodobieństwo, że nastąpi po niej końcówka pierwsza w liczbie jeden niż w przypadku, gdy po niej nastąpi końcówka pierwsza w dziewięciu.