Matematyka prosto wyglądających obiektów może być zaskakująco kłopotliwa. Prawdopodobnie nie ma lepszego przykładu niż wstęga Möbiusa.
To jednostronny przedmiot, który można wykonać po prostu skręcając kawałek papieru i łącząc końce taśmą. Gdybyś podążał palcem za pętlą, w końcu znalazłbyś się tam, gdzie zacząłeś, dotykając całej powierzchni pętli podczas podróży. Ta prosta kreacja, wstęga Möbiusa, ma fundamentalne znaczenie dla całej dziedziny topologii i służy jako kwintesencja przykładu różnych zasad matematycznych.
Jedną z tych zasad jest brak orientacji , czyli niezdolność matematyków do przypisywania współrzędnych do obiektu, powiedzmy w górę lub w dół, lub z boku na bok. Ta zasada ma kilka interesujących wyników, ponieważ naukowcy nie są do końca pewni, czy wszechświat daje się orientować.
To stwarza kłopotliwy scenariusz: gdyby rakieta z astronautami poleciała w kosmos wystarczająco długo, a potem wróciła, zakładając, że wszechświat nie był orientowany, możliwe, że wszyscy astronauci na pokładzie wróciliby w odwrotnej kolejności.
Innymi słowy, astronauci wróciliby jako lustrzane odbicia ich dawnych postaci, całkowicie odwróconych. Ich serca byłyby raczej po prawej niż po lewej stronie i mogą być raczej leworęczni niż praworęczni. Gdyby jeden z astronautów stracił prawą nogę przed lotem, po powrocie astronauta straciłby lewą nogę. To się dzieje, gdy przemierzasz niezorientowaną powierzchnię, taką jak pasek Möbiusa.
Chociaż miejmy nadzieję, że twój umysł jest oszołomiony – przynajmniej trochę – musimy zrobić krok wstecz. Co to jest pasek Möbiusa i jak można stworzyć obiekt o tak skomplikowanej matematyce, po prostu przekręcając kawałek papieru?
Historia Wstęgi Möbiusa
Pas Möbiusa (czasami pisany jako „pas Möbiusa”) został po raz pierwszy odkryty w 1858 roku przez niemieckiego matematyka Augusta Möbiusa, który badał teorie geometryczne. Chociaż odkrycie to w dużej mierze przypisuje się Möbiusowi (stąd nazwa paska), zostało ono niemal równocześnie odkryte przez matematyka Johanna Listinga. Wstrzymał się jednak z publikacją swojej pracy i został pobity przez Augusta Möbiusa.
Sam pasek jest definiowany po prostu jako jednostronna powierzchnia nie dająca się orientować, która jest tworzona przez dodanie jednego półskrętu do paska. Paski Möbiusa mogą być dowolnymi paskami, które mają nieparzystą liczbę półskrętów, co ostatecznie powoduje, że pasek ma tylko jedną stronę, a co za tym idzie, jedną krawędź.
Jednostronny wstęga od momentu odkrycia fascynuje artystów i matematyków. Pasek zauroczył nawet MC Eschera , prowadząc do jego słynnych prac „Möbius Strip I & II” .
Odkrycie wstęgi Möbiusa miało również fundamentalne znaczenie dla ukształtowania się dziedziny topologii matematycznej , badania właściwości geometrycznych, które pozostają niezmienione, gdy obiekt jest deformowany lub rozciągany. Topologia jest niezbędna w niektórych dziedzinach matematyki i fizyki, takich jak równania różniczkowe i teoria strun.
Na przykład, zgodnie z zasadami topografii, kubek jest w rzeczywistości pączkiem . Matematyk i artysta Henry Segerman wyjaśnia to najlepiej w filmie na YouTube : „Jeśli weźmiesz kubek z kawą, możesz trochę odciąć miejsce, do którego trafia kawa i możesz trochę zgnieść rączkę i ostatecznie możesz go zdeformować w [a] symetryczny okrągły kształt pączka." (To wyjaśnia żart, że topolog to ktoś, kto nie widzi różnicy między pączkiem a kubkiem do kawy.)
Praktyczne zastosowania paska Mobiusa
Pasek Möbiusa to coś więcej niż tylko świetna teoria matematyczna: ma kilka fajnych praktycznych zastosowań, czy to jako pomoc dydaktyczna dla bardziej złożonych obiektów, czy w maszynach.
Na przykład, ponieważ taśma Möbius jest fizycznie jednostronna, stosowanie taśm Möbius w taśmach przenośnikowych i innych zastosowaniach zapewnia, że sama taśma nie będzie się nierównomiernie zużywać przez cały okres użytkowania. Profesor nadzwyczajny NJ Wildberger z School of Mathematics na Uniwersytecie Nowej Południowej Walii w Australii wyjaśnił podczas serii wykładów, że pasy napędowe w maszynach często ulegają skręceniu, „celowo, aby pasy zużywały się równomiernie po obu stronach”. Wstęgę Möbiusa można również zobaczyć w architekturze, na przykład most Wuchazi w Chinach.
Dr Edward English Jr. , nauczyciel matematyki w gimnazjum i były inżynier optyczny, mówi, że kiedy po raz pierwszy dowiedział się o pasku Möbiusa w szkole podstawowej, jego nauczyciel kazał mu stworzyć pasek za pomocą papieru, przecinając pasek Möbiusa wzdłuż jego długości, dłuższy pasek z dwoma pełnymi skrętami.
„Myślę, że zaintrygowanie i wystawienie na tę koncepcję dwóch »stanów« pomogło mi, kiedy napotkałem spin elektronów w górę/w dół”, mówi, odnosząc się do swojego doktoratu. studia. „Różne pomysły mechaniki kwantowej nie były dla mnie tak dziwnymi koncepcjami do zaakceptowania i zrozumienia, ponieważ pasek Möbiusa wprowadził mnie w takie możliwości”. Dla wielu pasek Möbiusa służy jako pierwsze wprowadzenie do złożonej geometrii i matematyki.
Jak stworzyć pasek Möbiusa?
Tworzenie paska Möbiusa jest niezwykle łatwe. Po prostu weź kawałek papieru i pokrój go w cienki pasek, powiedzmy o szerokości 2,5-5 centymetrów. Po przecięciu paska po prostu przekręć jeden z końców o 180 stopni lub o pół obrotu. Następnie weź trochę taśmy i połącz ten koniec z drugim końcem, tworząc pierścień z półobrotem wewnątrz. Masz teraz pasek Möbiusa!
Możesz najlepiej przestrzegać zasad tego kształtu, chwytając palec i podążając wzdłuż boków paska. W końcu obejdziesz cały kształt i znajdziesz palec z powrotem w miejscu, w którym się zaczął.
Jeśli przetniesz pasek Möbiusa przez środek, na całej jego długości, zostaniesz z jedną większą pętlą z czterema półskrętami. To pozostawia ci skręcony okrągły kształt, ale taki, który nadal ma dwie strony. To właśnie ta dwoistość, o której wspomniał dr English, pomogła mu zrozumieć bardziej złożone zasady.
Teraz to jest fajne
Jeśli pokroisz bajgla wzdłuż ścieżki Möbiusa , pozostaniesz z dwoma połączonymi pierścieniami bajgla. Nie tylko to, ale powierzchnia cięcia będzie większa niż tylko przecięcie bajgla na pół, co pozwoli ci rozłożyć więcej serka na bajglu do zjedzenia.
