Một câu hỏi về $SK_1$ nhẫn

Question

Để cho $B$ là một vành giao hoán với sự thống nhất và $B/nil(B):=B_{red}$, Ở đâu $nil(B)$ là phi truyền thống của $B$. Là$SK_1(B)=SK_1(B_{red}) ?$ Đặc biệt, nó có đúng không khi $B$ là một đại số affine trên một trường đóng đại số?

Answer 1

Đúng. Một phần tử trong hạt nhân của$SK_1(B)\rightarrow SK_1(B_{red})$ được biểu diễn bằng một ma trận $M\in GL_n(B)$ cho một số $n$. Viết$\overline{M}$ để giảm $M$ mod $nil(B)$. Sau đó$\overline{M}$ là một tích của ma trận sơ cấp, tất cả đều nâng lên ma trận sơ cấp $B$. Điều chỉnh$M$ theo đó, chúng ta có thể giả định rằng $\overline{M}$ là bản sắc.

Theo đó các phần tử trên đường chéo của $M$ là tất cả $1$ mod $nil(B)$, do đó tất cả các đơn vị trong $B$. Điều này cho phép chúng tôi sử dụng các phép toán cơ bản để chuyển đổi$M$ thành ma trận đường chéo, do đó (theo bổ đề Whitehead) đại diện cho phần tử 0 của $SK_1(B)$.

(Đối số tương tự hoạt động nếu $B_{red}$ được thay thế bởi $B/I$, Ở đâu $I$ là bất kỳ lý tưởng nào có trong căn Jacobson.)