Làm thế nào để đi đến kết quả chính xác cho tích phân này?

Question

Theo như tôi biết thì Wolfram | Alpha là trang web duy nhất đưa ra lời giải chính xác cho tích phân này ,$$ f(x) = \frac{\sqrt{\sqrt{\sqrt{2 \cos \left(5 \sqrt{x}+4\right)+2}+2}+2}}{\sqrt{x}} $$ $$ F(x) = \int f(x)\, dx$$ bởi vì suy ra hàm đã cho, kết quả là chúng ta nhận được hàm ban đầu.

Đây là giải pháp: $$ F(x) = \frac{1}{5} (-8) \sqrt{2} \sqrt{\cos \left(5 \sqrt{x}+4\right)+1} \sqrt{\sqrt{2} \sqrt{\cos \left(5 \sqrt{x}+4\right)+1}+2} \left(\sqrt{\sqrt{2} \sqrt{\cos \left(5 \sqrt{x}+4\right)+1}+2}-2\right) \sqrt{\sqrt{\sqrt{2} \sqrt{\cos \left(5 \sqrt{x}+4\right)+1}+2}+2} \csc \left(5 \sqrt{x}+4\right) + C $$

Tuy nhiên, trong video này, một kết quả không chính xác được đưa ra mặc dù quá trình tích hợp có vẻ đúng. Như trên, bạn biết rằng kết quả không chính xác vì việc lấy ra hàm kết quả không dẫn đến hàm ban đầu mà chúng ta muốn tích hợp.

Tôi cần đạt được kết quả chính xác, nhưng tôi không biết làm thế nào.

Answer 1

Như đã chỉ ra bởi Ninad, đây là một giải pháp từng phần, tương đương với quy trình được sử dụng trong video, chỉ hợp lệ nếu $$\cos\frac t2$$ là tích cực .

Bắt đầu với danh tính này:

$$\sqrt{2+2\cos t} = \sqrt{4\cos^2\frac t2} = 2\cos\frac t2$$ Để áp dụng điều này cho tích hợp, trước tiên hãy thực hiện thay thế $t = \sqrt x$, sau đó áp dụng liên tiếp thuộc tính này. $$\begin{gather} I = \int\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + 2\cos(5t+4)}}}\cdot 2dt\\ = \int\sqrt{2 + \sqrt{2+2\cos\left(\frac{5t+4}{2}\right)}} \cdot 2 dt\\ = \int\sqrt{2 + 2\cos\left( \frac{5t+4}{4}\right)} \cdot 2dt \\ = \int 4\cos\left(\frac{5t+4}{8}\right) dt \\ = \frac{32}{5}\sin\left( \frac{5\sqrt x + 4}{8} \right) + C \end{gather}$$