OLS theo dạng ma trận

Question

Nếu tôi có mô hình: $y = β_1x_1 + β_2x_2 + u$.
Tôi phải chứng minh rằng công cụ ước tính OLS là:

Tôi nghĩ rằng tôi phải sử dụng $\beta =\begin{pmatrix} \beta_1 \\ \beta_2 \end{pmatrix}=(X^tX)^{-1}X^tY$. Nhưng tôi bối rối. Ai đó có thể viết lên ma trận X và Y không? Tôi chỉ phải nhân điều phối viên đầu tiên trong$2\times1$, bởi vì tôi chỉ phải hiển thị nó cho $\beta_1$?

Answer 1

$$\require{cancel} \xcancel{ X = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & x_{11} & x_{12} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & x_{n1} & x_{n2} \end{array} \right]. \qquad\qquad Y = \left[ \begin{array}{c} y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{array} \right]. \qquad {}} $$

Chỉnh sửa sau đó: Tôi không nhận thấy rằng mô hình được đề xuất trong bài đăng ban đầu không có điểm chặn. Vì vậy, điều đó có nghĩa là chúng ta có$$ X = \left[ \begin{array}{cccc} x_{11} & x_{12} \\ \vdots & \vdots \\ x_{n1} & x_{n2} \end{array} \right]. \qquad\qquad Y = \left[ \begin{array}{c} y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{array} \right]. $$