Chứng minh: $(\Delta x)(\Delta \lambda) \geq \frac{\lambda^2}{4\pi}$

Question

Hiện tại tôi đang xem qua công thức

$$(\Delta x)(\Delta p)\geq\frac{h}{4\pi}$$

tất nhiên là dạng kèm theo của Nguyên lý Bất định Heisenberg . Nhưng tôi cũng nhận được công thức này

$$(\Delta x)(\Delta \lambda)\geq\frac{\lambda^2}{4\pi}.$$

Tôi cho rằng đây là một phần mở rộng của nguyên tắc Heisenberg nhưng tôi đã không nhận được ghi chú như vậy trong cuốn sách. Hơn nữa, tôi nghĩ nó có thể đến từ giả thuyết của de Broglie và có thể là một số phép tính nhưng đó chỉ là phỏng đoán. Vì vậy, vì những lý do này, tôi mong muốn một câu trả lời từ bạn và hơn thế nữa, sẽ tốt hơn nếu có một số giải thích vật lý về công thức này giống như chúng ta có cho nguyên lý Heisenberg .

Answer 1

Bắt đầu từ nguyên lý bất định chung cho hai toán tử tùy ý$\Omega$ và $\Phi$ $$(\Delta\Omega)^2(\Delta\Phi)^2\geq\frac{1}{4}\left|\langle \psi | [\Omega,\Phi] | \psi\rangle\right|^2$$ Ở đâu $|\psi\rangle$ là một trạng thái tùy ý và $[\Omega,\Phi]=\Omega\Phi-\Phi\Omega$, cổ góp. Chúng tôi biết từ De Broglie rằng$\lambda=\frac{h}{p}$; từ đó, chúng tôi tính toán khung Sở hữu của$x$ và $\lambda$ như $$\begin{align}\{\lambda,x\}&=\frac{\partial \lambda}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial p}-\frac{\partial x}{\partial x}\frac{\partial\lambda}{\partial p}\\ &=\frac{h}{p^2}\\ &=\frac{\lambda^2}{h}\end{align}$$ Bây giờ, quy tắc phổ biến của Dirac cho lượng tử hóa (hoạt động trong nhiều trường hợp) là nói rằng $$\{\omega,\phi\}=\frac{2\pi}{i h}[\Omega,\Phi]$$ vì vậy chúng tôi có $$[\Lambda, X]=i\frac{\Lambda^2}{2\pi}$$. Gắn điều này vào nguyên tắc không chắc chắn chung ban đầu,$$(\Delta\Lambda)^2(\Delta X)^2\geq\frac{\langle \Lambda^2 \rangle^2}{16\pi^2}$$ và như vậy $$(\Delta\Lambda)(\Delta X)\geq\frac{\langle \Lambda^2 \rangle}{4\pi}$$ Bây giờ, từ định nghĩa của độ lệch chuẩn, chúng ta biết rằng $(\Delta X )^2+\langle X\rangle^2=\langle X^2\rangle$, vì vậy chúng tôi có $$\begin{align} (\Delta\Lambda)(\Delta X)&\geq\frac{\langle \Lambda^2 \rangle}{4\pi}\\ &\geq\frac{1}{4\pi}((\Delta\Lambda)^2+\langle\Lambda\rangle^2) \\ &\geq\frac{\langle\Lambda\rangle^2}{4\pi} \end{align} $$bởi vì độ lệch chuẩn là xác định dương. Do đó, biểu thị giá trị kỳ vọng của$\Lambda$ như $\lambda$, cuối cùng chúng ta đã có $$\bbox[5px,border:2px solid black]{(\Delta\Lambda)(\Delta X)\geq\frac{\lambda^2}{4\pi}}$$Hệ số bất định này khác với vị trí-xung lượng thông thường; Thay vì tích của độ không đảm bảo luôn luôn lớn hơn một hằng số, tích của độ lệch chuẩn của vị trí và bước sóng lớn hơn hoặc bằng giá trị trung bình của bước sóng chia cho$4\pi$. Do đó, nó liên hệ độ không đảm bảo về vị trí và bước sóng với giá trị trung bình của bước sóng.