Tìm bậc của đa thức tối giản

Question

Để cho $A\in M_3(\mathbb{R})$ được như vậy $A^8=I$, Sau đó :

$(1)$ Đa thức tối giản của $A$ chỉ có thể ở mức độ $2$.

$(2)$ Đa thức tối giản của $A$ chỉ có thể ở mức độ $3$.

$(3)$ hoặc $A=I$ hoặc là $-I$

$(4)$ Có rất nhiều $A$ đáp ứng những điều trên

Đây là cách tiếp cận của tôi: Một đa thức triệt tiêu của $A$ Là $p(x)=x^8-1 = (x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)$ và chúng tôi biết rằng $m_A(x)|p(x)$ và cả $m_A(x)|\chi_A(x)$ và $\chi_A(x)$ có mức độ $3$ vì thế $m_A(x)$ phải ở mức độ nhiều nhất $3$.

Để cho $A= \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ (như được đưa ra bởi Ravi Fernando trong các bình luận) sau đó $m_A(x)=(x-1)(x^2+1)$ vì vậy tùy chọn $(1)$,$(2)$,$(3)$ là sai

Lựa chọn thứ 4 là đúng vì chúng ta có thể lấy tất cả các ma trận tương tự như $A$

Answer 1

Để cho $O(\theta)$ là $2 \times 2$ ma trận trực giao

$O(\theta) = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}; \tag 1$

bộ

$P = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}; \tag 2$

sau đó

$O^{-1}(\theta) = O^T(\theta) = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}; \tag 3$

chúng ta có

$O^T(\theta) P O(\theta) = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$ $= \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & -\cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos^2 \theta - \sin^2 \theta & 2 \cos \theta \sin \theta \\ 2 \cos \theta \sin \theta & \sin^2 \theta - \cos^2 \theta \end{bmatrix}$ $= \begin{bmatrix} \cos 2 \theta & \sin 2 \theta \\ \sin 2\theta & -\cos 2 \theta \end{bmatrix}, \tag 4$

rõ ràng là một gia đình không thể đếm được của $2 \times 2$ma trận; hơn nữa,

$(O^T(\theta) P O(\theta))^2 = O^T(\theta) P O(\theta) O^T(\theta) P O(\theta) = O^T(\theta) P I P O(\theta)$ $= O^T(\theta)P^2 O(\theta) = O^T(\theta)I O(\theta) = I, \tag 5$

thời gian

$(O^T(\theta) P O(\theta))^8 = I \tag 6$

cũng; bây giờ thiết lập

$A(\theta) = \begin{bmatrix} O^T(\theta) P O(\theta) & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}; \tag 7$

sau đó

$A^8(\theta) = \begin{bmatrix} (O^T(\theta) P O(\theta))^8 & 0 \\ 0 & (-1)^8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I, \tag 8$

Và gia đình $\{ A(\theta)\mid \theta \in \Bbb R \}$ cũng không đếm được.