Lỗi bị ràng buộc trong PNT theo một số giả định giống RH
Trong các bài giảng, có một sự ép buộc mà tôi phải đấu tranh. Đây,$\psi$biểu thị hàm Chebychev . Tôi giả định rằng$$\psi(x)-x\in o(x^{1-\varepsilon})$$ cho một số $0<\varepsilon<1/2$ (sẽ xuất phát từ một phiên bản kém mạnh mẽ hơn của Giả thuyết Riemann, đó là một vùng không có số 0 của biểu mẫu $\{\sigma>c\}$). Bằng cách sử dụng tổng kết theo từng phần, tôi đã viết$$\pi(x)=\frac{\psi(x)}{\log(x)}+\int_2^x\frac{\psi(t)}{t\log^2(t)}\text{d}t,$$ cho phép tôi chứng minh điều đó $$\pi(x)-\text{Li}(x)\in O(x^{1-\varepsilon}).$$
Bây giờ, trong phần còn lại của cuộc cưỡng chế, tôi được yêu cầu chứng minh rằng $$\pi(x)-\frac{x}{\log(x)}\notin o(x^{1-\delta})$$ bất cứ gì $\delta>0$ (đây là ý nghĩa mà $\text{Li}(x)$ là một sự gần đúng tốt hơn cho $\pi(x)$ hơn đơn giản $\frac{x}{\log(x)}$). Làm thế nào để chứng minh điều này?
Nếu tôi giả sử ngược lại, nghĩa là $$\pi(x)-\frac{x}{\log(x)}\in o(x^{1-\delta})$$ cho một số $\delta>0$, thì tôi không biết mình phải nhận mâu thuẫn nào.
Tôi đã thử các bất đẳng thức cổ điển: $$\pi(x)\log(x)\geqslant\psi(x)\geqslant\sum_{x^{1-\eta}\leqslant p\leqslant x}\log(p)=(1-\eta)[\pi(x)+O(x^{1-\eta})]\log(x),$$nhưng tôi nghi ngờ nó dẫn tôi đến bất cứ đâu. Có ai có bất kỳ gợi ý / ý tưởng? Sự ép buộc không mang lại bất kỳ điều gì ngoài một số câu đố .
Trả lời
Dựa trên những gì bạn đã chứng minh, chúng tôi có $$ \pi (x) - \frac{x}{{\log x}} = \operatorname{Li}(x) + \mathcal{O}(x^{1 - \varepsilon }) - \frac{x}{{\log x}} = \operatorname{Li}(x) - \frac{x}{{\log x}} + \mathcal{O}(x^{1 - \varepsilon }). $$ Bây giờ, nó có thể được hiển thị, bằng cách sử dụng tích hợp theo từng phần, $$ \operatorname{Li}(x) = \frac{x}{{\log x}} + \frac{x}{{\log ^2 x}} + \mathcal{O}\!\left( {\frac{x}{{\log ^3 x}}} \right). $$ Vì thế, $$ \pi (x) - \frac{x}{{\log x}} = \frac{x}{{\log ^2 x}} + \mathcal{O}\!\left( {\frac{x}{{\log ^3 x}}} \right) + \mathcal{O}(x^{1 - \varepsilon }) = \frac{x}{{\log ^2 x}} + \mathcal{O}\!\left( {\frac{x}{{\log ^3 x}}} \right) \notin o(x^{1 - \delta }). $$