Lỗi bị ràng buộc trong PNT theo một số giả định giống RH

Aug 16 2020

Trong các bài giảng, có một sự ép buộc mà tôi phải đấu tranh. Đây,$\psi$biểu thị hàm Chebychev . Tôi giả định rằng$$\psi(x)-x\in o(x^{1-\varepsilon})$$ cho một số $0<\varepsilon<1/2$ (sẽ xuất phát từ một phiên bản kém mạnh mẽ hơn của Giả thuyết Riemann, đó là một vùng không có số 0 của biểu mẫu $\{\sigma>c\}$). Bằng cách sử dụng tổng kết theo từng phần, tôi đã viết$$\pi(x)=\frac{\psi(x)}{\log(x)}+\int_2^x\frac{\psi(t)}{t\log^2(t)}\text{d}t,$$ cho phép tôi chứng minh điều đó $$\pi(x)-\text{Li}(x)\in O(x^{1-\varepsilon}).$$

Bây giờ, trong phần còn lại của cuộc cưỡng chế, tôi được yêu cầu chứng minh rằng $$\pi(x)-\frac{x}{\log(x)}\notin o(x^{1-\delta})$$ bất cứ gì $\delta>0$ (đây là ý nghĩa mà $\text{Li}(x)$ là một sự gần đúng tốt hơn cho $\pi(x)$ hơn đơn giản $\frac{x}{\log(x)}$). Làm thế nào để chứng minh điều này?

Nếu tôi giả sử ngược lại, nghĩa là $$\pi(x)-\frac{x}{\log(x)}\in o(x^{1-\delta})$$ cho một số $\delta>0$, thì tôi không biết mình phải nhận mâu thuẫn nào.

Tôi đã thử các bất đẳng thức cổ điển: $$\pi(x)\log(x)\geqslant\psi(x)\geqslant\sum_{x^{1-\eta}\leqslant p\leqslant x}\log(p)=(1-\eta)[\pi(x)+O(x^{1-\eta})]\log(x),$$nhưng tôi nghi ngờ nó dẫn tôi đến bất cứ đâu. Có ai có bất kỳ gợi ý / ý tưởng? Sự ép buộc không mang lại bất kỳ điều gì ngoài một số câu đố .

Trả lời

1 Gary Aug 16 2020 at 22:00

Dựa trên những gì bạn đã chứng minh, chúng tôi có $$ \pi (x) - \frac{x}{{\log x}} = \operatorname{Li}(x) + \mathcal{O}(x^{1 - \varepsilon }) - \frac{x}{{\log x}} = \operatorname{Li}(x) - \frac{x}{{\log x}} + \mathcal{O}(x^{1 - \varepsilon }). $$ Bây giờ, nó có thể được hiển thị, bằng cách sử dụng tích hợp theo từng phần, $$ \operatorname{Li}(x) = \frac{x}{{\log x}} + \frac{x}{{\log ^2 x}} + \mathcal{O}\!\left( {\frac{x}{{\log ^3 x}}} \right). $$ Vì thế, $$ \pi (x) - \frac{x}{{\log x}} = \frac{x}{{\log ^2 x}} + \mathcal{O}\!\left( {\frac{x}{{\log ^3 x}}} \right) + \mathcal{O}(x^{1 - \varepsilon }) = \frac{x}{{\log ^2 x}} + \mathcal{O}\!\left( {\frac{x}{{\log ^3 x}}} \right) \notin o(x^{1 - \delta }). $$