Tại sao số pi không lặp lại?
Được rồi, tôi vừa học xong Nguyên tắc chuồng chim bồ câu (PHP) và ứng dụng của nó với khai triển thập phân.
Để truyền đạt câu hỏi của mình một cách rõ ràng, tôi cần truyền đạt hiểu biết của mình về PHP liên quan đến việc mở rộng thập phân, vì vậy đây là ...
Bằng quá trình chia dài, chúng ta có thể thu được vô số phần còn lại vì $0$cũng được coi là phần còn lại (tham khảo Fig 1để hiểu ý tôi) là$>$số hữu hạn các giá trị có thể có của phần dư (theo định lý thương số-phần dư,$0≤r<d $)
→ Bằng PHP , chắc chắn chúng ta sẽ nhận được một phần còn lại có giá trị giống với giá trị của phần còn lại trước đó (Trong Hình 1, chúng tôi ghi được một điểm khi r 7 = r 1 )
→ Như vậy tại một số thời điểm, chuỗi các phần còn lại sẽ lặp lại vô hạn
→ Dãy các phần còn lại này có thể là số 0 hoặc khác 0
→ Nếu đó là một chuỗi các số 0, chúng ta nhận được các số thập phân kết thúc như $2$(như trong $2.\color{red}{\overline{000}}\ldots$$... $ ) hoặc $ 3,625 $ (như $ 3,625 \ color {red} {\ overline {000}} \ ldots$$...$)
→ Nếu đó là một dãy các số khác 0, chúng ta nhận được một số thập phân lặp lại như $3/14$=$0.2\color{red}{\overline{142857}}\ldots$
Câu hỏi của tôi: Vậy tại sao PI không thuộc một trong hai loại này? Nó có vi phạm PHP không?
Xin lỗi vì các ảnh chụp màn hình trước.
Hình 1:
Trả lời
Bước thứ hai của suy luận của bạn cần được chứng minh tốt hơn. Lưu ý rằng trong thiết lập của bạn, số chia$d$phải ở dạng số nguyên để ứng dụng PHP có ý nghĩa. Bây giờ có hai trường hợp.
Cổ tức là một số nguyên, được biểu diễn dưới dạng $n.00000\ldots$. Sau đó, bạn có thể sử dụng PHP để lập luận rằng tại một số phần còn lại thu được sau khi dấu thập phân lặp lại. Vì vậy, bạn có$r_k=r_{k+n}$ cho $k,n$thu được sau dấu thập phân. Sau đó, bạn cần phải tranh luận thêm rằng làm giảm$0$ tại $r_{k+n}$ tạo ra một mẫu độ dài phân chia tuần hoàn $n$ từ đó trở đi, mang lại một số thập phân lặp lại cuối cùng trong câu trả lời của bạn.
Số bị chia không phải là một số nguyên mà là một số thực tùy ý. Trong trường hợp này, PHP cho bạn biết nhận được các phần còn lại trùng lặp. Nhưng bạn sẽ không thể tranh luận thêm rằng danh sách các phần còn lại cuối cùng lặp lại. Ví dụ, hãy xem xét việc chia$2$ thành $0.10100100010000\ldots$ (đây tôi có $1$ theo dõi bởi $n$ số 0 cho $n=1$ đến $\infty$). Danh sách những người còn lại của bạn là$0,1,0,1,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0\ldots$không lặp lại. Tuy nhiên, ngay cả khi bạn nhận được một chuỗi các phần dư lặp lại, điều này không nhất thiết có nghĩa là câu trả lời của bạn là một số thập phân lặp lại. Ví dụ, hãy xem xét bất kỳ số thực nào$x$, được biểu diễn dưới dạng số thập phân $a_0.a_1a_2a_3\ldots$. Thực hiện phân chia dài hạn tầm thường của$1$ thành $x$. Bạn sẽ nhận được phần còn lại$0$ mỗi lần, nhưng chuỗi thập phân trong thương số không cần phải lặp lại (cuối cùng).
Bây giờ, đối với $\pi$, nó phải phù hợp với trường hợp thứ hai , bởi vì nếu bạn bắt đầu phép chia dài của mình với số bị chia và số bị chia là số nguyên, thì bạn đã tính toán một số hữu tỉ.
$\pi$là một số siêu việt và không phải là một số hữu tỉ. Đối số PHP dường như áp dụng cho các số hữu tỉ.
Bạn đã cho rằng bạn có thể tính toán $\pi$ bằng cách chia một số có số chữ số hữu hạn đã biết cho một số khác có số chữ số hữu hạn đã biết.
Đây là định nghĩa về ý nghĩa của một số hữu tỉ. Và thực sự lập luận của bạn là một bằng chứng chính xác rằng biểu diễn thập phân của bất kỳ số hữu tỉ nào cũng lặp lại.
Nhưng $\pi$không hợp lý. Nó không thể được tính bằng cách chia một số với một số hữu hạn các chữ số đã biết cho một số khác có một số hữu hạn các chữ số đã biết.