Phương trình vi phân \ bậc cao hơn

Question

Tôi cần trợ giúp để giải quyết công việc này, nếu có ai gặp vấn đề tương tự thì có thể giúp tôi.

Nhiệm vụ là: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân

$$ y''-y' - 2y=e^{2x} \cos^2 x$$

Đối với đồng nhất, tôi nhận được:

$$y_H=c_1e^{2x}+c_2e^{-x}$$

Tôi có vấn đề với cụ thể, tôi đã thử:

$$y=(A\sin^2x+B\cos^2x)e^{2x}\\y'=(2A\sin x \cos x + 2B \sin x \cos x) e^{2x} +(A\sin^2 x + B \cos ^2 x) 2e^{2x}\\y''=2e^{2x}(2A \sin x \cos x - 2B \sin x \cos x + A\sin^2 x +B \cos^2 x)$$

Tôi không biết nếu điều này là chính xác?

Tôi không biết điều gì tiếp theo từ đây ..

Cảm ơn trước !

Answer 1

$$y''-y' - 2y=e^{2x} \cos^2 (x)$$ Từ $r^2-r-2=(r+1)(r-2)$, để cho $y=e^{2x}\,z$ để làm cho $$z''+3z'=\cos^2 (x)=\frac 12+\frac 12 \cos(2 x)$$ Giảm đơn hàng $p=z'$ để có được $$p'+3p=\frac 12+\frac 12 \cos(2 x)$$ Làm $p=q+\frac 16$ $$q'+3q=\frac 12 \cos(2 x)\implies q=c_1 e^{-3 x}+\frac{1}{26} (2 \sin (2 x)+3 \cos (2 x))$$ $$p=z'=\frac 16+c_1 e^{-3 x}+\frac{1}{26} (2 \sin (2 x)+3 \cos (2 x))$$ $$z=\frac 16 x +c_2 e^{-3 x}+\frac{1}{52} (3 \sin (2 x)-2 \cos (2 x))+c_3$$ $$y=e^{2x}\,z=\frac 16 xe^{2x}+c_2 e^{- x}+\frac{1}{52} (3 \sin (2 x)-2 \cos (2 x))e^{2x}+c_3e^{2x}$$ Làm cho nó đơn giản hơn bằng cách phân tích nhân tử.

Answer 2

Giải pháp đồng nhất của bạn là đúng.

Lưu ý rằng $\cos^2(x)=\frac{1}{2}(1+\cos(2x))$, do đó, giải pháp cụ thể phải có dạng $$y_{p}(x)=Axe^{2x}+Be^{2x}\cos(2x)+Ce^{2x}\sin(2x).$$

Thay thế chúng tôi thấy rằng $A=\frac{1}{6}$, $B=-\frac{1}{26}$ và $C=\frac{3}{52}$.

---

$$y'_p=2C\mathrm{e}^{2x}\sin\left(2x\right)-2B\mathrm{e}^{2x}\sin\left(2x\right)+2C\mathrm{e}^{2x}\cos\left(2x\right)+2B\mathrm{e}^{2x}\cos\left(2x\right)+2Ax\mathrm{e}^{2x}+A\mathrm{e}^{2x}$$

và $$y''_p=\mathrm{e}^{2x}\left(-2\left(2C+2B\right)\sin\left(2x\right)+2\left(2C-2B\right)\cos\left(2x\right)+2A\right)$$ $$+2\mathrm{e}^{2x}\left(\left(2C-2B\right)\sin\left(2x\right)+\left(2C+2B\right)\cos\left(2x\right)+2Ax+A\right)$$

Vì vậy chúng tôi có $$y''_p-y'_p-2y_p$$ $$=e^{2x}\big[\cos(2x)(4C-4B+4C+4B-2C-2B-2B)+\sin(2x)(-4C-4B+4C-4B-2C+2B-2C)+2A+4Ax+2A-2Ax-A-2Ax\big]$$ $$=e^{2x}\big[\cos(2x)(6C-4B)+\sin(2x)(-4C-6B)+3A\big]$$ $$=\frac{e^{2x}}{2}(1+\cos(2x)).$$

Vì vậy chúng tôi có $3A=\frac{1}{2}\implies A=\frac{1}{6}$, $6C-4B=\frac{1}{2}$ và $-4C-6B=0$ đưa ra $C=\frac{3}{52}$ và $B=-\frac{1}{26}$.

Answer 3

Chúng ta cần giải quyết $$\text{ODE:}\quad \boxed{y''-y'-2y=e^{2x}\cos^{2}(x)}$$ Giải pháp chung sẽ là tổng của giải pháp bổ sung và giải pháp cụ thể, nó $$\text{solution general=solution complementary+particular solution}$$nó là $$y(x)=y_{c}(x)+y_{p}(x)$$

Giải pháp bổ sung: Chúng ta cần giải quyết$$y''-y'-2y=0$$Để cho $y=e^{rx}$, vì vậy chúng tôi có $$(r^{2}-r-2)e^{rx}=0 \implies (r-2)(r-1)=0 \implies r=-1 \quad \vee \quad r=2$$. Vì vậy, chúng tôi có giải pháp cơ bản$\{e^{-x},e^{2x}\}$. vì thế$$\boxed{y_{c}(x)=c_{1}e^{-x}+c_{2}e^{2x}}$$ Ở đâu $c_{1},c_{2}$ là các hằng số.

Giải pháp cụ thể: Sử dụng phương pháp hệ số không xác định nên ta có$$y''-y'-2y=e^{2x}\cos^{2}(x) \iff y''-y'-2y=\frac{e^{2x}}{2}+\frac{1}{2}e^{2x}\cos(2x)$$ Giải pháp cụ thể sẽ là tổng các giải pháp cụ thể để $$y''-y'-2y=\frac{e^{2x}}{2}$$ và $$y''-y'-2y=\frac{1}{2}e^{2x}\cos(2x)$$ Bây giờ, giải pháp cụ thể để $y''-y'-2y=\frac{e^{2x}}{2}$ có dạng $y_{p_{1}}(x)=x(a_{1}e^{2x})$ Ở đâu $a_{1}e^{2x}$ được nhân lên bởi $x$ giải thích cho $e^{2x}$ trong giải pháp bổ sung.

Và, giải pháp cụ thể để $y''-y'-2y=\frac{1}{2}e^{2x}\cos(2x)$ có dạng $y_{p_{2}}(x)=a_{2}e^{2x}\cos(2x)+a_{3}e^{2x}\sin(2x)$. Bây giờ, tổng$y_{p_{1}}$ và $y_{p_{2}}$ để có được $y_{p}$, nó để nói $$y_{p}(x)=a_{1}xe^{2x}+a_{2}e^{2x}\cos(2x)+a_{3}e^{2x}\sin(2x)$$

Giải các hằng số chưa biết $a_{1},a_{2}$ và $a_{3}$ chúng ta có $$a_{1}=\frac{1}{6}, \quad a_{2}=-\frac{1}{26} \quad \text{and} \quad a_{3}=\frac{3}{52}$$ Vì vậy chúng tôi có $$\boxed{y_{p}(x)=\frac{1}{6}xe^{2x}-\frac{1}{26}e^{2x}\cos(2x)+\frac{3}{52} e^{2x}\sin(2x)}$$ Cuối cùng $$\color{blue}{\boxed{y(x)=c_{1}e^{-x}+c_{2}e^{2x}+\frac{1}{6}xe^{2x}-\frac{1}{26}e^{2x}\cos(2x)+\frac{3}{52} e^{2x}\sin(2x)}}$$Ở đâu $c_{1}$ và $c_{2}$ là các hằng số.

Answer 4

$$y''-y' - 2y=e^{2x} \cos^2 x$$ $$y''e^{-2x}-2y'e^{-2x} +y'e^{-2x}- 2ye^{-2x}=\cos^2 x$$ $$(y'e^{-2x})' +(ye^{-2x})'=\cos^2 x$$ $$(e^{-2x}(ye^{x})')'=\cos^2 x$$ $$(e^{-2x}(ye^{x})')'=\dfrac 12(\cos(2 x)+1)$$ Tích hợp cả hai mặt.

Answer 5

Gợi ý :

Đối với giải pháp cụ thể của $\;y''-y'-2y=\mathrm e^{2x}\cos^2x$, Tôi sẽ tuyến tính đầu tiên $\cos^2x$: $$\mathrm e^{2x}\cos^2x=\frac12\mathrm e^{2x}(1+\cos 2x), $$sau đó áp dụng nguyên tắc chồng chất , cụ thể là xác định một giải pháp cụ thể cho

• $y''-y'-2y=\mathrm e^{2x}$: như $2$ là một căn đơn giản của phương trình đặc trưng, ​​một nghiệm cụ thể có thể được tìm thấy ở dạng $$y_0(x)=c_0x\mathrm e^{2x}$$ cho một sự phù hợp $c_0$.
• $y''-y'-2y=\mathrm e^{2x}\cos 2x=\operatorname{Re}\bigl(\mathrm e^{2(1+i)x}\bigr)$, đó là phần thực sự của một giải pháp cụ thể khi rhs là $\mathrm e^{2(1+i)x}$. Như$2(1+i)$là không một giải pháp của phương trình đặc trưng, giải pháp đặc biệt này sẽ có dạng$$y_1(x)=c_1\mathrm e^{2(1+i)x} $$Lưu ý rằng tiên nghiệm $c_1$ sẽ là một số phức, do đó bạn sẽ phải xác định phần thực của $\:c_1\mathrm e^{2(1+i)x}$.

Bạn sẽ dễ dàng tìm thấy $c_0$ và $c_1$ bằng cách xác định và suy ra một nghiệm cụ thể cho phương trình ban đầu là $$\frac12(y_0(x)+\operatorname{Re}\bigl(y_1(x)\bigr).$$