Bộ hủy mô-đun đơn giản

Question

Để cho $C$ được tạo ra một cách tài tình $R$-algebra ở đâu $R$là vành giao hoán đơn kim. Để cho$S$ đơn giản $C$-môđun. Chứng tỏ rằng kẻ hủy diệt$S$ trong $R$ là một lý tưởng tối đa.

Những gì tôi đã thử là: Khi $C=R$ thì nó là hệ quả trực tiếp của sự đơn giản của $S$ như một $R$-môđun. Hơn nữa, kể từ$S$ thì đơn giản $S$ là chu kỳ (tức là $S=Cy$ cho nonzero $y\in S$). Xem xét bản đồ$$f: C \to S$$ $$c \mapsto cy$$ Sau đó $\ker(f)$ là kẻ hủy diệt $S$ trong $C$ và $\ker(f) \cap R$ là kẻ hủy diệt $S$ trong $R$. Tôi đã chứng minh rằng đó là một lý tưởng về$R$nhưng tôi không có ý tưởng để tiếp tục thể hiện tính tối đa. Đó có phải là một hướng đi đúng đắn hay còn điều gì khác mà tôi nên xem xét để thể hiện tính tối đa?

Answer 1

Tôi có một ý tưởng: Nếu chúng ta hạn chế bản đồ $f: C \to S$ trên $R$. Sau đó, chúng ta có một đẳng cấu giữa$f(R)=Ry$ và thương số $R/(\ker(f) \cap R)$, Ở đâu $\ker(f) \cap R$ là kẻ hủy diệt $S$ trong $R$.

Vì vậy, để hiển thị $R/(\ker(f) \cap R)$ là cực đại, nó đủ để cho thấy rằng $Ry$ đơn giản như một $R$-môđun. Để cho$ry \in Ry$là một phần tử khác không. Sau đó rõ ràng$Ry$ chứa đựng $\langle ry \rangle$ như $R$-môđun. Ngược lại, kể từ$ry \in Ry \subset S$ là nonzero, $\langle ry \rangle = S \supset Ry$. Vì thế$Ry = \langle ry \rangle$ cho bất kỳ nonzero nào $ry \in Ry$. Hnece$Ry$ đơn giản và $R/(\ker(f) \cap R)$ là cực đại.

Vui lòng cho tôi biết nếu có sự mơ hồ trong câu trả lời của tôi.