Chất diệt khuẩn của o

Question

Câu hỏi này đã được hỏi nhưng không có câu trả lời nào tôi thấy là đúng / đủ kỹ lưỡng.

Đối với $x$ gần 0 và $n>1$, là chất chống nhiễm trùng của $o(x^n)$ tương đương với $o( x^{n+1} )$ và làm thế nào để chúng tôi chứng minh nó?

Ít $o$ được định nghĩa là:

$f$ Là $o( g )$ gần 0 nếu và chỉ khi có một hàm $u$ có xu hướng bằng không khi $x$ gần bằng không và thỏa mãn $f = u g,$ hoặc cho bất kỳ $\epsilon >0$, có một số $a>0$ như vậy mà $∣ f(x)∣ \leq \epsilon |g(x)|$ bất cứ khi nào $0< |x| <a$

Tôi đã sử dụng cả hai định nghĩa nhưng không thể đi đến đâu, tích hợp từng phần cũng không giúp được gì, tôi biết rằng điều đó không đúng với đạo hàm mà: đạo hàm của $o(x^n)$ tương đương với $o( x^{n-1} )$ nhưng tôi không chắc về tích hợp.

Answer 1

Vâng, không có gì rắc rối với điều này, điểm mấu chốt là tích hợp bảo tồn các bất bình đẳng (rất sai khi phân biệt); đó là, nếu$f(x) \le g(x)$ sau đó $\int_a^b f(x) \, dx \le \int_a^b g(x) \, dx$.

Chính thức hơn, nếu $f(x) = o(|x|^n)$, thì theo định nghĩa, chúng tôi có điều đó cho bất kỳ $\epsilon > 0$ có tồn tại $\delta > 0$ như vậy nếu $0 < |x| < \delta$ sau đó $|f(x)| < \epsilon |x^n|$. Định nghĩa

$$F(x) = \int_0^x f(t) \, dt.$$

Sau đó cho bất kỳ $\epsilon > 0$ có tồn tại $\delta > 0$ như vậy nếu $0 < |x| < \delta$ sau đó $|f(x)| < \epsilon (n+1) |x^n|$, do đó như vậy

$$|F(x)| = \left| \int_0^x f(t) \, dt \right| \le \int_0^x |f(t)| \, dt \le \int_0^x \varepsilon (n+1) |t|^n \, dt = \varepsilon |x|^{n+1}.$$

Vì thế $F(x) = o(|x|^{n+1})$. Chúng tôi không thực sự cần phải chèn$n+1$ prefactor nhưng thật tuyệt khi làm cho giới hạn cuối cùng xuất hiện chính xác những gì nó cần.