Chứng minh rằng $f(\bigcap_{\lambda\in L} A_\lambda) = \bigcap_{\lambda \in L} f(A_\lambda)$ iff $f$ bị thương

Question

Tôi định thể hiện điều đó $f\colon X\to Y$ là tội lỗi cho bất kỳ gia đình nào $(A_{\lambda})_{\lambda\in L}$ tập hợp con của $X$ chúng ta có $f(\bigcap_{\lambda\in L} A_\lambda) = \bigcap_{\lambda \in L} f(A_\lambda)$.

Đầu tiên, hãy chứng minh rằng $f\colon X\to Y$và $A\subset X$, $f$ bị thương $A= f^{-1}(f(A))$

Bằng chứng. ($\Rightarrow$). Bởi mâu thuẫn. Nếu$f$ là bị thương, sau đó đối với bất kỳ $x_1,x_2\in X$ chúng ta có $x_1\neq x_2 \implies f(x_1)\neq f(x_2)$. Chọn$x_1\in A\subseteq X$ và $x_2 \in X\setminus A$, hiển nhiên là $f(x_1)\in f(A)$ e $f(x_2)\in f(X\setminus A)$. Sau đó mỗi$y\in f(A)$, bởi vì $f$ bị thương, tương ứng với một điểm duy nhất $x\in A\subseteq X$ như vậy mà $f(x)=y$. Sau đó cho tất cả$A\subseteq X$ chúng ta có thể nói về điều đó $f^{-1}(f(A))=A$. Nếu có một phần tử$x_3\in X\setminus A$ như vậy mà $f(x_3)\in f(A)$, sau đó $f$ sẽ không bị thương bởi vì $f(x_3)\in f(A)$, chính xác vì nó nằm ở $f(A)$, sẽ phải tương ứng với một số $x_3\in A\subseteq X$. Sau đó, sự mất tích của$f$ ngụ ý rằng cho tất cả $A\subseteq X$ chúng ta có $f^{-1}(f(A))=A$.

($\Leftarrow$). Bởi mâu thuẫn. Xem xét$x_1\in A\subseteq X$ và $x_2\in X\setminus A$. Sau đó$f(x_1)\in f(A)$ và $f(x_2)\not\in f(A)$. Chúng tôi có điều đó$f^{-1}(f(A)) = A$, sau đó mọi phần tử trong $f(A)$ tương ứng với một số yếu tố trong $A\subseteq X$. Xem xét điều đó$f$ không bị thương, tức là trường hợp $f(x_1)=f(x_2)\in f(A)$ và $x_1\neq x_2$. Chúng tôi sẽ có sau đó$f^{-1}(f(A))\neq A$, bởi vì $x_2\not\in A$. Sau đó,$f$ bị thương.

Bây giờ đến bằng chứng chính.

Bằng chứng . Bằng chứng trực tiếp rằng$f$ bị thương $\iff f(\bigcap_{\lambda\in L} A_\lambda) = \bigcap_{\lambda \in L} f(A_\lambda)$.

\ begin {align *} f (x) \ in f (\ bigcap _ {\ lambda \ in L} A_ \ lambda) & \ iff x \ in f ^ {- 1} (f (\ bigcap _ {\ lambda \ in L } A_ \ lambda)) \\ & \ iff x \ in \ bigcap _ {\ lambda \ in L} A_ \ lambda \ \ text {bởi vì $f$ bị lỗi} \\ & \ iff x \ trong A_ \ lambda, \ text {cho tất cả} \ \ lambda \ trong L \\ & \ iff f (x) \ in f (A_ \ lambda), \ text {cho tất cả } \ \ lambda \ in L \\ & \ iff f (x) \ in \ bigcap _ {\ lambda \ in L} f (A_ \ lambda) \ end {align *}

Tôi có thể làm điều này?

Tôi không thể hiển thị điều đó nếu $f(\bigcap_{\lambda\in L} A_\lambda) = \bigcap_{\lambda \in L} f(A_\lambda)$ sau đó $f$ bị thương nếu không sử dụng thực tế rằng $f(\bigcap_{\lambda\in L} A_\lambda) = \bigcap_{\lambda \in L} f(A_\lambda)$ chỉ khi và chỉ khi $f^{-1}(f(\bigcap_{\lambda\in L} A_\lambda)) = \bigcap_{\lambda\in L} A_\lambda$và điều này chỉ đúng nếu và chỉ khi $f$ bị thương.

Answer 1

Có thể lập luận đơn giản hơn nhiều. Dễ dàng nhận thấy rằng luôn đúng rằng

$$f\left[\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda\right]\subseteq\bigcap_{\lambda\in\Lambda}f[A_\lambda]$$

cho bất kỳ gia đình nào $\{A_\lambda:\lambda\in\Lambda\}$ tập hợp con của $X$. Giả sử rằng$f$ bị thương, và hãy để $x\in\bigcap_{\lambda\in\Lambda}f[A_\lambda]$. Sau đó cho mỗi$\lambda\in\Lambda$ Đây là một $a_\lambda\in A_\lambda$ như vậy mà $x=f(a_\lambda)$. Sửa chữa$\lambda_0\in\Lambda$; từ$f$ bị thương, $a_\lambda=a_{\lambda_0}$ cho mỗi $\lambda\in\Lambda$, vì thế $a_{\lambda_0}\in\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda$và $x=f(a_{\lambda_0})\in f\left[\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda\right]$. Vì vậy,

$$\bigcap_{\lambda\in\Lambda}f[A_\lambda]\subseteq f\left[\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda\right]$$

và do đó

$$f\left[\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda\right]=\bigcap_{\lambda\in\Lambda}f[A_\lambda]\,.$$

Bây giờ giả sử rằng $f$không bị thương. Sau đó, có$x,y\in X$ như vậy mà $x\ne y$và $f(x)=f(y)$. Để cho$A_0=\{x\}$ và $A_1=\{y\}$; sau đó

$$\varnothing=f[\varnothing]=f[A_0\cap A_1]\subsetneqq f[A_0]\cap f[A_1]=\{f(x)\}\,.$$