Phương pháp tìm CDF cận biên

Question

Tôi muốn tính CDF biên của một hàm phân phối xác suất chung. Tuy nhiên, tôi không chắc chắn về giới hạn mà tôi phải sử dụng và muốn xác minh nó. Giả sử tôi có biểu thức:

$$f_{XY}(x,y)=x^2y$$ $$-1<x<1$$ $$0<y<\sqrt{3}$$

Tôi muốn tính CDF biên. Nếu tôi muốn làm điều này, tôi có thể áp dụng mối quan hệ:

$$F_X(x) = \lim_{y \to \infty}F_{XY}(x,y)$$

Và tôi tính CDF tích lũy như sau:

$$F_{XY}(x,y) = \int_0^y \int_{-1}^xu^2v\,du\,dv = \frac{(x^3+1)y^2}{6}$$

Tôi tin rằng đây là những giới hạn chính xác bởi vì $f_{xy}$bằng 0 đối với X và Y khi x <-1 hoặc y <0. Do đó, các giới hạn dưới phải là -1 và 0. Các giới hạn trên cũng xuất hiện thích hợp, không phải lý do ít nhất là nếu tôi để x = 1 và$y=\sqrt{3}$, Tôi kết thúc với F = 1. Nếu bây giờ tôi muốn tính CDF biên đối với X, tôi sẽ làm như sau:

$$F_X(x) = \lim_{y \to \infty}F_{XY}(x,\infty)$$

Nhưng sự thay thế đơn giản mang lại một câu trả lời không ràng buộc, không thể xảy ra trường hợp này, vì xác suất nằm trong khoảng từ 0 đến 1. Vì vậy, câu hỏi của tôi là (1) tôi có thể tính CDF biên trực tiếp từ PDF hoặc PDF biên không và (2) tôi có nên sử dụng sự ràng buộc $\sqrt{3}$khi tính CDF biên bằng cách sử dụng mối quan hệ trực tiếp trên? Tôi tin rằng tôi nên sử dụng$\sqrt{3}$, vì nếu tôi coi pdf, nó bằng 0 khi $y>\sqrt{3}$và vì bản chất từng mảnh của hàm pdf ngụ ý rằng xác suất của Y là 1 khi $y>\sqrt{3}$.

Answer 1

Đầu tiên, có, bạn có thể tính toán CDF biên từ PDF chung:

$$P\left(X \leq x\right) = \int^{x}_{-1} \int^{\sqrt{3}}_0 f_{XY}\left(x,y\right) dy\,dx.$$

Thứ hai,

$$\lim_{y\rightarrow\infty} F_{XY}\left(x,y\right) = F\left(x,\sqrt{3}\right)$$

vì những lý do mà bạn mô tả.

Answer 2

Đóng. Bạn nên bao gồm các hỗ trợ và hơn thế nữa trong CDF của bạn. Bởi vì các giới hạn đối với vô hạn sẽ có xu hướng tăng lên$1$, như bạn đã lưu ý , vì vậy điều này nên được chỉ ra.

$$\begin{align}\mathsf F_{\small X,Y}(x,y)&=\dfrac{\small((x^3+1)\mathbf 1_{-1\leqslant x<1}+2\cdotp\mathbf 1_{1\leqslant x})(y^2\mathbf 1_{0\leqslant y<\surd 3}+3\cdotp\mathbf 1_{\surd 3\leqslant y})}{6}\\[3ex]&=\begin{cases}0&:& x<-1\text{ or }y<0\\(x^3+1)y^2/6&:&-1\leqslant x<1, 0\leqslant y<\surd 3\\y^2/3&:&1\leqslant x, 0\leqslant y<\surd 3\\(x^3+1)/2&:&-1\leqslant x<1,\surd 3\leqslant y\\1&:& 1\leqslant x, \surd 3\leqslant y\end{cases}\end{align}$$

Tất nhiên, điều này cũng cho thấy làm thế nào để có được CDF biên.