Dãy số hữu tỉ

Question

Tôi đã đọc trong Gradshteyn I, Ryzhik I Table Of Integrals, Series And Products (7Ed, Elsevier, 2007) (Isbn 0123736374) (1220S) loạt bài sau $$-\frac{x}{x-1}=\sum _{k=0}^{\infty } -\frac{x^{2^k}}{x^{2^{k+1}}-1}=\sum _{k=1}^{\infty } \frac{2^k x^{2^k-1}}{x^{2^k-1}+1}$$ huyết thanh $$\frac{2^k x^{2^k}}{x^{2^k}+1}$$ thật dễ dàng tính toán bằng cách sử dụng chuỗi tích cực lừa của Van Wijngaarden trong loạt bài thay thế nhưng khi đến từ loạt thứ hai ??

Answer 1

Chúng tôi chỉ ra rằng giá trị sau là hợp lệ cho | x | <1: \begin{align*} \frac{x}{1-x}&=\sum_{k=0}^\infty\frac{2^kx^{2^{k}}}{1+x^{2^{k}}}\tag{1}\\ &=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{2^{k}}}{1-x^{2^{k+1}}}\tag{2}\\ \end{align*}

Kể từ khi chúng tôi có \begin{align*} \frac{2^{k+1}x^{2^{k+1}}}{1-x^{2^{k+1}}}=\frac{2^kx^{2^k}}{1-x^{2^k}}-\frac{2^kx^{2^k}}{1+x^{2^k}} \end{align*}

chúng tôi thu được bằng cách lắp kính thiên văn \ begin {align *} \ color {blue} {\ sum_ {k = 0} ^ \ infty} & \ color {blue} {\ frac {2 ^ kx ^ {2 ^ k}} {1+ x ^ {2 ^ k}}} \\ & = \ lim_ {N \ to \ infty} \ sum_ {k = 0} ^ N \ frac {2 ^ kx ^ {2 ^ {k}}} {1 + x ^ {2 ^ {k}}} \\ & = \ lim_ {N \ to \ infty} \ left (\ sum_ {k = 0} ^ N \ frac {2 ^ kx ^ {2 ^ {k}}} { 1-x ^ {2 ^ {k}}} - \ sum_ {k = 0} ^ N \ frac {2 ^ {k + 1} x ^ {2 ^ {k + 1}}} {1-x ^ { 2 ^ {k + 1}}} \ right) \\ & = \ lim_ {N \ to \ infty} \ left (\ sum_ {k = 0} ^ N \ frac {2 ^ kx ^ {2 ^ {k} }} {1-x ^ {2 ^ {k}}} - \ sum_ {k = 1} ^ {N + 1} \ frac {2 ^ kx ^ {2 ^ {k}}} {1-x ^ { 2 ^ {k}}} \ right) \\ & = \ lim_ {N \ to \ infty} \ left (\ frac {x} {1-x} - \ frac {2 ^ {N + 1} x ^ { 2 ^ {N + 1}}} {1-x ^ {2 ^ {N + 1}}} \ right) \ tag {$2^{N+1}x^{2^{N+1}}\to0$} \\ & \, \, \ color {blue} {= \ frac {x} {1-x}} \ end {align *} và xác nhận quyền sở hữu (1) sau đó.

Kể từ khi chúng tôi có \begin{align*} \frac{x^{2^{k}}}{1-x^{2^{k+1}}}&=\frac{\left(1+x^{2^{k}}\right)-1}{1-x^{2^{k+1}}}=\frac{1}{1-x^{2^{k}}}-\frac{1}{1-x^{2^{k+1}}} \end{align*}

chúng ta thu được lại bằng cách lắp kính thiên văn \ begin {align *} \ color {blue} {\ sum_ {k = 0} ^ \ infty} & \ color {blue} {\ frac {x ^ {2 ^ k}} {1 + x ^ {2 ^ {k + 1}}}} \\ & = \ lim_ {N \ to \ infty} \ sum_ {k = 0} ^ N \ frac {x ^ {2 ^ {k}}} {1+ x ^ {2 ^ {k + 1}}} \\ & = \ lim_ {N \ to \ infty} \ left (\ sum_ {k = 0} ^ N \ frac {1} {1-x ^ {2 ^ {k}}} - \ sum_ {k = 0} ^ N \ frac {1} {1-x ^ {2 ^ {k + 1}}} \ right) \\ & = \ lim_ {N \ to \ infty } \ left (\ sum_ {k = 0} ^ N \ frac {1} {1-x ^ {2 ^ {k}}} - \ sum_ {k = 1} ^ {N + 1} \ frac {1} {1-x ^ {2 ^ {k}}} \ right) \\ & = \ lim_ {N \ to \ infty} \ left (\ frac {1} {1-x} - \ frac {1} {1 -x ^ {2 ^ {N + 1}}} \ right) \ tag {$x^{2^{N+1}}\to0$} \\ & = \ frac {1} {1-x} -1 \\ & \, \, \ color {blue} {= \ frac {x} {1-x}} \ end {align *} và yêu cầu (2) sau đây.

Lưu ý: Chúng tôi tìm thấy trong ấn bản 07 của Bảng tích phân, chuỗi và tích bằng công thức IS Gradshteyn và IM Ryzhik 1.121 (1.):\begin{align*} \frac{x}{1-x}=\sum_{k=1}^\infty\frac{2^{k-1}x^{2^{k-1}}}{1+x^{2^{k-1}}}=\sum_{k=1}^\infty\frac{x^{2^{k-1}}}{1-x^{2^{k}}}\qquad\qquad[x^2<1] \end{align*}