Hằng số Euler và hàm von Mangoldt

Question

Bất cứ ai có thể cung cấp tài liệu tham khảo hoặc liên kết về cách phương trình sau được suy ra:

$\gamma = (1/2)*\sum \frac{1-\Lambda (k)}{k}$

trong đó tổng trên k> = 1, γ là hằng số Euler-Mascheroni và Λ (k) là hàm von Mangoldt.

Cảm ơn.

Answer 1

$\sum \frac{1-\Lambda(k)}{k} = \lim \limits_{n \to \infty} \sum \limits_{k \leq n} \frac{1-\Lambda(k)}{k} = \lim \limits_{n \to \infty} \sum \limits_{k \leq n} \frac{1}{k} - \sum \limits_{k \leq n} \frac{\Lambda(k)}{n} = H_n - \sum \limits_{p \leq n} \frac{\ln p}{p} - \sum \limits_{p \leq n } \sum \limits_{r=2}^{\infty} \frac{\ln p}{ p^r} $

Theo định lý thứ ba Mertens và PNT $\sum \limits_{p \leq n} \frac{\ln p}{p} = \ln n - \gamma - \sum \limits_{P} \frac{\ln p}{p (p-1)} + o(\frac{1}{\ln n})$

Và $H_n = \ln n +\gamma + O(\frac{1}{n})$, cũng thế $\sum \limits_{P} \sum \limits_{r=2}^{\infty} \frac{\ln p}{ p^r} = \sum \limits_{P} \frac{\ln p}{p (p-1)} $

Với giới hạn $ n \to \infty$ chúng tôi hiểu điều đó $ \sum \frac{1-\Lambda(k)}{k} = 2 \gamma$

Lưu ý: Tôi nghĩ rằng bạn buộc phải sử dụng "PNT" bằng bất kỳ cách nào bạn tiếp cận vấn đề.