Bất đẳng thức cho hàm lồi

Question

Để cho $f(s)=\int_0^\infty e^{-sx}b(x)dx$, $s>0$. Đây$b(x) \ge 0$ là hàm mật độ xác suất, $\int_0^\infty b(x)dx=1$, với trung bình hữu hạn $\bar{b}=\int_0^\infty xb(x)dx$. Được biết rằng

1. $b(x)$ là như vậy, đó $f(s)\ge {1 \over 1+s \bar{b}}$ cho $s>0$và
2. $0<\lambda \bar{b} <1$và
3. $0.5<f(\lambda)<1$.

Tôi cần chứng minh điều đó cho bất kỳ $\lambda>0$ và $s>0$, thỏa mãn điều kiện (1) - (3), nó cho rằng $$ \lambda{f(\lambda)-f(s)\over s- \lambda} - f(s)[1-f(\lambda)]\ge 0. $$
cũng có thể được viết là: $$ {f(s)[f(\lambda)-1] \over \lambda} \ge {f(s)-f(\lambda)\over s- \lambda}. $$

Tôi đã gặp phải vấn đề này, khi so sánh các bản phân phối tĩnh của công việc chưa hoàn thành trong hai hàng đợi một máy chủ. Từ vật lý của các hàng đợi, tôi tin rằng sự bất bình đẳng trên là đúng. Đã thử mọi thứ tôi biết và có thể tìm thấy (bất đẳng thức cauchy-shwarz và chủ, bất đẳng thức cho hàm lồi, v.v.), nhưng không thể chứng minh.

Điều kiện (1) là quan trọng. Nó được thỏa mãn bởi các bản phân phối$b(x)$của lớp Harmonic Mới Tồi tệ hơn được Sử dụng Trong mong đợi (xem trang 3 ở đây và trên trang 4, người ta có thể tìm thấy các ví dụ về sự sai lệch cụ thể đáp ứng (1)).

Tôi sẽ đánh giá cao bất kỳ gợi ý và lời khuyên hữu ích nào.

Answer 1

Một ví dụ (Vui lòng kiểm tra nó)

Phân phối chuẩn mực: $b(x) = \frac{1}{2x\sqrt{2\pi}} \mathrm{e}^{-\frac{(\ln x + 1)^2}{8}},\ x > 0$.

$\bar{b} = \int_0^\infty x b(x) \mathrm{d} x = \mathrm{e}$. Để cho$\lambda = \frac{1}{5}$ và $s = \frac{1}{2}$

i) Kiểm tra điều kiện 1): Có đúng là $$(1+\mathrm{e}s)\int_0^\infty \mathrm{e}^{-sx}\frac{1}{2x\sqrt{2\pi}} \mathrm{e}^{-\frac{(\ln x + 1)^2}{8}}\mathrm{d} x \ge 1, \ \forall s > 0?$$Tôi không thể chứng minh điều đó. Nó có vẻ đúng theo bằng chứng số.

ii) Kiểm tra điều kiện 2): Đúng.

iii) Kiểm tra điều kiện 3): Đúng.

Tuy nhiên, $\lambda \frac{f(\lambda) - f(s)}{s - \lambda} - f(s)(1 - f(\lambda)) < 0$.