Chứng minh đẳng cấp

Question

$\newcommand{\rank}{\mathrm{rank}}$

Tôi đang cố gắng giải bài tập đại số tuyến tính sau đây từ sách giáo khoa.

Để cho $P_1, P_2, \ldots, P_k, Q_1, Q_2, \ldots, Q_k$ được đặt hàng $n$ ma trận trên trường số $F$và $P_iQ_j = Q_jP_i$, $\rank(P_i) = \rank(P_iQ_i), 1 \leq i, j \leq k$. Chứng minh,\begin{align*} \rank(P_1P_2\cdots P_k) = \rank(P_1\cdots P_kQ_1\cdots Q_k). \end{align*}

Cho đến nay, tôi vẫn còn khá hoang mang. Trong khi điều kiện$\rank(P_i) = \rank(P_iQ_i)$ ngụ ý $P_i = P_iQ_iR_i$ cho một số đơn đặt hàng $n$ ma trận $R_i$, Tôi không biết làm thế nào để áp dụng điều kiện giao hoán một cách hợp lý.

Đối với trường hợp $k = 2$, có vẻ hữu ích khi cố gắng thể hiện điều đó $\text{Im}(P_1P_2Q_1Q_2) \subset \text{Im}(P_1P_2)$. Vì vậy, tôi đã lấy bất kỳ$x \in \text{Im}(P_1P_2)$, vì thế $x = P_1P_2y = P_1P_2Q_2R_2y$ cho một số $y \in F^n$. Sau đó, tôi bị mắc kẹt.

Answer 1

Chúng tôi sẽ chứng minh điều đó bằng cách quy nạp, tôi sẽ viết chi tiết trường hợp cơ sở (sau đó nếu bạn gặp khó khăn với bước quy nạp, đừng ngần ngại yêu cầu trợ giúp).

k = 2:

$rank(P_1P_2)=rank(P_2)-dim(KerP_1\cap ImmP_2)$ (xem chú thích (*) ở cuối)

$rank(P_1P_2Q_1Q_2)=rank(P_1Q_1P_2Q_2)=rank(P_2Q_2)-dim(KerP_1Q_1\cap ImmP_2Q_2)$

trong đó tôi đã sử dụng điều kiện giao hoán cho đoạn đầu tiên và (*) cho đoạn thứ hai.

Với điều kiện: $rank(P_i)=rank(P_iQ_i)$ chúng tôi suy ra rằng: $rank(P_2)=rank(P_2Q_2)$. Vì vậy, chúng tôi phải chứng minh rằng:$dim(KerP_1\cap ImmP_2)=dim(KerP_1Q_1\cap ImmP_2Q_2)$.

Có thể dễ dàng nhận thấy rằng: $KerP_1\subseteq KerQ_1P_1=KerP_1Q_1$ và: $ImmP_2Q_2\subseteq ImmP_2$. Nhưng chúng tôi cũng biết rằng$dim(KerP_1)=dim(KerP_1Q_1)$ (bởi vì hai ma trận có cùng hạng, nó tuân theo định lý Hạng – nullity), và $dim(ImmP_2Q_2)=dim(ImmP_2).$ Vì vậy, chúng tôi có thể kết luận rằng: $KerP_1=KerP_1Q_1$, $ImmP_2Q_2=ImmP_2$.

Xét rằng $KerP_1\cap ImmP_2=KerP_1Q_1\cap ImmP_2Q_2$, chúng tôi kết luận rằng chúng có cùng thứ nguyên.

(*) $General$ $fact$: Được $A$ (ma trận kích thước $m\times n$) và $B$ (kích thước $n\times k$) chúng tôi có rằng: $rank(AB)=rank(B)-dim(KerA\cap ImmB)$

$Proof$: Chúng ta có thể giải thích ma trận là bản đồ tuyến tính. Chúng ta có:$A:\mathbb{K}^n\to\mathbb{K}^m$, $A:\mathbb{K}^k\to\mathbb{K}^n$, $AB:\mathbb{K}^k\to\mathbb{K}^m$.

$Imm(AB)=A(ImmB)=Imm(A_{|ImmB})$ và $Ker(AB)=Ker(A_{|ImmB})=KerA\cap ImmB$.

Vì thế: $rank(B)=dim(ImmA_{|ImmB})+dim(KerA_{|ImmB})=dim(ImmAB)+dim(KerA\cap ImmB)$.