Đóng bộ này dưới bổ sung

Question

Định nghĩa $S = \{ (x_n)_n \in \mathbb{R}^\mathbb{N} \mid \sum\limits_{n=1}^{∞} {x_n}^2 < ∞ \}.$

Làm cách nào để chứng minh rằng tập hợp này được đóng theo phép cộng theo chiều kim loại?

Để cho $(x_n)_n$, $(y_n)_n$ là hai chuỗi với chuỗi liên kết của chúng hội tụ với $L_1 := \sum {x_n}^2$ và $L_2 := \sum {y_n}^2$. Làm cách nào để chứng minh rằng chuỗi liên kết với$(x_n + y_n)_n$ hội tụ, quá?

Cho đến nay, tôi có thể suy luận $\sum_n (x_n + y_n)^2 = L_1 + L_2 + 2\sum x_n y_n$, nhưng làm thế nào để tôi đi từ đây?

Answer 1

Dấu

$$\sum_{n}|x_n||y_n|\leq \sqrt{\sum_{n}x_n^2}\sqrt{\sum_{n}y_n^2}.$$

Answer 2

Với những gì bạn đã làm, những gì còn lại để chứng minh là $\sum {x_n y_n}$là hội tụ. Để làm như vậy, bạn cần một số dạng bất đẳng thức Cauchy Swartz và nêu những điều sau:$$|x_n y_n|=\sqrt{x_n^2 \cdot y_n^2}\leq \frac{x_n^2 + y_n^2}{2}$$ Bất đẳng thức này đôi khi được gọi là AM-GM và từ đó chúng ta có thể suy ra rằng tổng $\sum {|x_n y_n|}$là hội tụ. Vì vậy, dum được đề cập là hoàn toàn hội tụ.

Answer 3

Một cách tốt hơn sẽ là sử dụng thực tế rằng $(a+b)^{2}\leq 2(a^{2}+b^{2})$ vì thế $\sum (x_n+y_n)^{2} \leq 2\sum x_n^{2}+2\sum y_n^{2} <\infty$. Điều này tránh bất bình đẳng CS.