Chức năng beta cho QED
Hàm beta đối với điện động lực học lượng tử là gì?
Tôi không thể tìm thấy nó ở bất kỳ đâu ngoại trừ bài viết trên Wikipedia về các hàm beta , trong đó hàm beta một vòng được cung cấp bởi:$$\beta(\alpha) = \frac{\alpha^2}{3\pi}$$ Tuy nhiên, sử dụng định nghĩa của hàm beta $$\beta(\alpha) = \frac{d\alpha}{d\ln(\mu)}$$ một ngươi được: $$\frac{d\alpha}{d\ln(\mu)} = \frac{\alpha^2}{3\pi}$$
Sau khi sắp xếp lại $$3\pi\frac{d\alpha}{\alpha^2} = d\ln(\mu)$$ và tích hợp $$-\frac{3\pi}{\alpha} = \ln(\mu) + C = \ln(\mu) - \ln(\mu_0) = \ln(\mu/\mu_0),$$ Ở đâu $C = -\ln(\mu_0)$ là một hằng số tích hợp, kết quả là: $$\alpha(\mu) = -\frac{3\pi}{\ln(\mu/\mu_0)} = \frac{3\pi}{\ln(\mu_0/\mu)}$$ Điều này mang lại các giá trị tăng đơn âm không âm cho $\alpha$ cho $\mu < \mu_0$ với một điểm kỳ dị ở $\mu_0$ (Tôi đoán đó sẽ là cực Landau).
Tuy nhiên, với mọi giá trị hữu hạn khác 0 của $\mu_0$, $\alpha(0)$ có vẻ như $$\alpha(0) = \lim_{\mu\to0^+}\frac{3\pi}{\ln(\mu_0/\mu)} = \lim_{\ln(\mu)\to-\infty}\frac{3\pi}{\ln(\mu_0)-\ln(\mu)} = 0,$$ trong khi mặt khác $\alpha \approx 1/137$ sẽ xuất hiện ở mức năng lượng thấp thay vì bằng không.
Đánh bắt ở đâu?
Có cụm từ nào bị thiếu trong hàm beta ở trên không? Ví dụ, thay thế$\alpha^2$ với $(\alpha - \alpha_0)^2$nên đưa ra kết quả mong đợi, nhưng dường như nó không được viết như vậy ở bất cứ đâu. Tuy nhiên, sự thay thế đó có ngụ ý âm thầm không?
Trả lời
Đầu tiên, một chỉnh sửa nhỏ đối với đại số.
Tôi theo bạn đến đây.
\ begin {method} 3 \ pi \ frac {{\ rm d} \ alpha} {\ alpha ^ 2} = d \ ln \ mu \ end {method}
Sau đó, tôi nghĩ rằng chúng ta cần phải tiến hành một cách cẩn thận. Cách tôi sẽ đi là tích hợp từ một quy mô tham chiếu$\mu_0$ thang đo năng lượng $q$. Sau đó \ begin {method} 3 \ pi \ int _ {\ mu_0} ^ q \ frac {{\ rm d} \ alpha} {\ alpha ^ 2} = \ ln \ frac {q} {\ mu_0} \ end {method } Sắp xếp lại kết quả này là \ begin {method} \ frac {1} {\ alpha (q)} - \ frac {1} {\ alpha (\ mu_0)} = - \ frac {1} {3 \ pi} \ ln \ frac {q} {\ mu_0} \ end {method}
Nếu muốn, bạn có thể sắp xếp lại để lấy \ begin {method} \ alpha (q) = \ frac {\ alpha (\ mu_0)} {1- \ frac {1} {3 \ pi} \ alpha (\ mu_0) \ ln \ frac {q} {\ mu_0}} \ end {phương trình}
Khi suy ra điều này, chúng tôi đã mặc nhiên giả định rằng chúng tôi có thể sử dụng xấp xỉ một vòng lặp cho hàm beta. Điều này yêu cầu cái gọi là "nhật ký lớn" không xuất hiện. Trong thực tế, điều này có nghĩa là chọn một thang tham chiếu$\mu_0$ không quá khác biệt so với quy mô năng lượng của các quá trình bạn quan tâm, $q$.
Bằng cách lấy $q \ll \mu_0$, bạn đang phá vỡ giả định này và sẽ cần tiếp tục các bản ghi nhật ký trong chức năng beta.
Hoặc, bạn có thể chọn một thang tham chiếu $\mu_0$ ở mức năng lượng của các thí nghiệm mà bạn quan tâm. Ở mức năng lượng thấp, $\alpha(\mu_0)$ nhỏ, và như vậy $\alpha(q) \approx \alpha(\mu_0)$.
Nếu điều đó có vẻ không thỏa mãn (ý tôi là năng lượng lớn là gì?), Chỉ cần lưu ý rằng $\alpha(q)$ sẽ tăng nhẹ khi tăng $q$. Nếu bạn tiếp tục phù hợp$\mu_0$ thang đo năng lượng $q$, cuối cùng bạn sẽ đạt đến điểm mà $\alpha(\mu_0)$ không thể bỏ qua thuật ngữ ở mẫu số đối với một phạm vi đáng kể là $q$.