Giới hạn đánh giá.

Question

Tại N. Piskunov, ông giải thích các phương trình vi phân bằng cách lấy ví dụ về lực cản của không khí tác dụng lên một vật thể rơi. Sau khi đánh giá phương trình vi phân, anh ta nhận được một phương trình cho vận tốc là:$$v = \left(v_o - \frac{mg}{k}\right)e^{-\frac{kt}{m}} + \frac{mg}{k}.$$

Sau đó anh ấy nói rằng nếu $k = 0$ thì phương trình chuyển sang phương trình cơ bản: $$v = v_o + gt.$$

Bây giờ tôi hiểu câu nói này bởi vì khi lực cản của không khí bằng không thì phương trình vận tốc này được giữ nguyên. Tuy nhiên, tôi không thể chứng minh tuyên bố này khi tôi đánh giá giới hạn:$$\lim_{k \rightarrow 0} \left[\left(v_o - \frac{mg}{k}\right)e^{-\frac{kt}{m}} + \frac{mg}{k} \right]$$

Mọi trợ giúp đánh giá giới hạn sẽ được đánh giá cao!

Answer 1

Bạn có

$$\begin{equation}\begin{aligned} \lim_{k \rightarrow 0} \left[\left(v_o - \frac{mg}{k}\right)e^{-\frac{kt}{m}} + \frac{mg}{k} \right] & = \lim_{k \rightarrow 0} \left[v_oe^{-\frac{kt}{m}} - \frac{mg}{k}e^{-\frac{kt}{m}} + \frac{mg}{k} \right] \\ & = \lim_{k \rightarrow 0} \left[v_{o}e^{-\frac{kt}{m}} + \frac{mg\left(1 - e^{-\frac{kt}{m}}\right)}{k} \right] \\ \end{aligned}\end{equation}\tag{1}\label{eq1A}$$

Giới hạn của thuật ngữ đầu tiên, tức là, $v_{o}e^{-\frac{kt}{m}}$, chỉ đơn giản là $v_{o}$. Đối với thuật ngữ thứ hai, vì giới hạn trở thành nó sẽ$\frac{0}{0}$, sử dụng quy tắc L'Hôpital , cho

$$\begin{equation}\begin{aligned} \lim_{k \rightarrow 0} \frac{mg\left(1 - e^{-\frac{kt}{m}}\right)}{k} & = \lim_{k \rightarrow 0} \frac{mg\left(-e^{-\frac{kt}{m}}\left(-\frac{t}{m}\right)\right)}{1} \\ & = mg\left(\frac{t}{m}\right) \\ & = gt \end{aligned}\end{equation}\tag{2}\label{eq2A}$$

Bạn cũng có thể sử dụng bình luận câu hỏi được liệt kê của dnfu để nhận được giá trị tương tự. Do đó, kết quả tổng hợp từ \ eqref {eq1A} cho

$$\lim_{k \rightarrow 0} \left[\left(v_o - \frac{mg}{k}\right)e^{-\frac{kt}{m}} + \frac{mg}{k} \right] = v_{o} + gt \tag{3}\label{eq3A}$$

Answer 2

Để thay thế, chúng tôi có điều đó theo giới hạn tiêu chuẩn $\frac{e^x-1}{x} \to 1$ như $x \to 0$

$$ \frac{mg\left(1 - e^{-\frac{kt}{m}}\right)}{k} =gt \,\frac{ e^{-\frac{kt}{m}}-1}{-\frac{kt}m} \to gt \cdot 1= g t$$

và kết quả sau đó.

Answer 3

Với

$$e^{-\dfrac{kt}{m}}\approx 1-\dfrac{kt}{m},$$

$$\left(v_o - \frac{mg}{k}\right)e^{-\dfrac{kt}{m}} + \frac{mg}{k}$$

trở thành

$$v_o+\left(g-\frac{kv_0}m\right)t\approx v_o+gt.$$