Tìm ý nghĩa sau

Question

Tôi đã cố gắng giải quyết vấn đề sau:

Giả sử $X_1,...,X_n$ là các biến ngẫu nhiên theo cấp số nhân, với mật độ $f(x;\theta) =\theta e^{-\theta x}$ và hãy giả sử rằng chúng tôi có trước $\theta$ với mật độ $\theta^{\alpha -1}e^{-\beta \theta}$

Bây giờ, tôi thấy hậu quả là

$$\theta^{n+\alpha-1}e^{-n \theta \bar{x} - \beta \theta}$$

Bây giờ tôi muốn tìm nghĩa sau, mà tôi đã đọc được đưa ra bởi:

$$\int \theta \theta^{n+\alpha-1}e^{-n \theta \bar{x} - \beta \theta} d\theta= \int\theta^{n+\alpha}e^{-n \theta \bar{x} - \beta \theta} d\theta$$

Tôi đã cố gắng giải quyết tích phân này, nhưng tôi không có bất cứ điều gì có ý nghĩa. Tôi đã cố gắng đọc một số ví dụ trực tuyến và có thể thấy rằng hằng số chuẩn hóa đóng một vai trò nào đó, nhưng tôi không thấy tất cả các liên kết với nhau như thế nào.

Answer 1

Giả sử rằng $X_{1},\ldots,X_{n}$ là các biến ngẫu nhiên theo cấp số nhân, với hàm mật độ $f(x;\theta)=\theta e^{-\theta x}$. Khi đó, hàm khả năng sẽ là \ begin {method *} \ text {L} (\ theta | x) = \ prod_ {i = 1} ^ {n} f (x_ {i}; \ theta) = \ prod_ {i = 1} ^ {n} \ theta e ^ {- \ theta x_ {i}} = \ theta ^ {n} e ^ {- \ theta n \ bar {x}} \ end {phương trình *} ở đâu$n\bar{x}=\sum_{i=1}^{n}x_{i}.$

Bây giờ, giả sử rằng chúng ta muốn sử dụng gamma trước cho một lượng $\theta$. Vì thế$\theta \sim \text{Ga}(\alpha,\beta).$ Sau đó, hàm mật độ trước cho $\theta$is \ begin {method *} \ pi (\ theta) = \ frac {\ beta ^ {\ alpha}} {\ Gamma (\ alpha)} \ theta ^ {\ alpha-1} e ^ {- \ theta \ beta } \ end {method *} do đó, hàm mật độ sau cho$\theta$, $\pi(\theta|x)$tỷ lệ với mật độ trước nhân với hàm khả năng. Chúng tôi có thể viết$\pi(\theta|x)$như sau \ begin {method *} \ pi (\ theta | x) = \ frac {\ pi (\ theta) \ text {L} (\ theta | x)} {\ int _ {\ Theta} \ pi (\ theta ) \ text {L} (\ theta | x) d \ theta}. \ end {method *} Để tính giá trị trung bình sau cho$\theta$, Nói $\text{E}(\theta|x)$. Chúng ta có \ begin {method *} \ text {E} (\ theta | x) = \ frac {\ int \ theta \ pi (\ theta) \ text {L} (\ theta | x) d \ theta} {\ int \ pi (\ theta) \ text {L} (\ theta | x) d \ theta}. \ end {method *} Chúng ta có thể tính toán phân tích tất cả các tích phân này khi phân phối trước là liên hợp (nếu phân phối sau và phân phối trước thuộc cùng một họ phân phối, thì phân phối trước được gọi là liên hợp trước) theo khả năng xảy ra.

Đầu tiên chúng ta hãy giải quyết mẫu số của giá trị trung bình sau $\text{E}(\theta|x)$[hằng số chuẩn hóa]. Vì thế,\begin{align*} \frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}\int_{0}^{\infty}\theta^{\alpha-1}e^{-\theta \beta} \theta^{n}e^{-n\bar{x}\theta}d\theta&=\frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}\int_{0}^{\infty}\theta^{(\alpha+n)-1}e^{-\theta (\beta+n\bar{x})}d\theta\\ &=\frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}.\frac{\Gamma(\alpha+n)}{(\beta+n\bar{x})^{\alpha+n}}. \end{align*} Thứ hai, tích phân ở tử số sẽ là \begin{align*} \frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}\int_{0}^{\infty}\theta \theta^{\alpha-1}e^{-\theta \beta} \theta^{n}e^{-n\bar{x}\theta}d\theta&=\frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}\int_{0}^{\infty}\theta^{(\alpha+n+1)-1}e^{-\theta (\beta+n\bar{x})}d\theta\\ &=\frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}.\frac{\Gamma(\alpha+n+1)}{(\beta+n\bar{x})^{\alpha+n+1}}. \end{align*} Kết quả là, trung bình sau, $\text{E}(\theta|x)$is \ begin {method *} \ text {E} (\ theta | x) = \ frac {\ frac {\ beta ^ {\ alpha}} {\ Gamma (\ alpha)}. \ frac {\ Gamma (\ alpha + n + 1)} {(\ beta + n \ bar {x}) ^ {\ alpha + n + 1}}} {\ frac {\ beta ^ {\ alpha}} {\ Gamma (\ alpha)}. \ frac {\ Gamma (\ alpha + n)} {(\ beta + n \ bar {x}) ^ {\ alpha + n}}} = \ frac {\ Gamma (\ alpha + n + 1)} {( \ beta + n \ bar {x}) ^ {\ alpha + n + 1}}. \ frac {(\ beta + n \ bar {x}) ^ {\ alpha + n}} {\ Gamma (\ alpha + n)} = \ frac {\ alpha + n} {\ beta + n \ bar {x}}. \ end {phương trình *}