Bài toán lôgarit thường gặp

Question

Mỗi khi một tia sáng đi qua một tấm thuỷ tinh thì nó bị mất $\frac{1}{10}$cường độ của nó. Cần bao nhiêu miếng kính giống nhau để cường độ sáng nhỏ hơn$\frac{1}{3}$ của giá trị ban đầu của nó?

Để cho $x$là giá trị cường độ ban đầu của tia sáng. Để cho$n$ là số tấm kính tương tự cần thiết để làm cho cường độ ánh sáng nhỏ hơn $\frac{1}{3}$ của giá trị ban đầu của nó.

Như vậy $x(\frac{1}{10})^n = (\frac{2}{3})x$

$(\frac{1}{10})^n = (\frac{2}{3})$

$log_{10} {10^-n} = log_{10} {2} – log_{10} {3}$

$n × log_{10} {10} = log_{10} {2} – log_{10} {3}$

Từ $log_{10}{2} ≈ 0.3010$ và $log_{10}{3} ≈ 0.4771$, sau đó

$n ≈ 0.3010 – 0.4771$

$n ≈ 0.3010 – 0.4771$

$n ≈ -0.1761$

Tôi nhận được một câu trả lời phủ định cho $n$. Đây là nơi tôi bị mắc kẹt. Bất kỳ ý kiến ​​và đề xuất sẽ được đánh giá cao. Cảm ơn bạn trước.

Answer 1

Tia mất $\frac{1}{10}$cường độ của nó. Điều này có nghĩa là cường độ của tia sau khi ra khỏi tấm kính là$\frac{9}{10}x$ (giả sử rằng $x$ là cường độ gốc).

Answer 2

Cường độ do một bản truyền qua là $0.9$, và bởi $n$ tấm là $0.9^n$. Nếu bạn muốn nhỏ nhất$n$ sao cho giá trị này không lớn hơn $0.3333$,

$$0.9^n\le0.3333$$ sau đó

$$n\log0.9\le \log0.3333$$

$$n=\left\lceil\frac{\log0.3333}{\log0.9}\right\rceil=11.$$

Kiểm tra:

$$0.9^{10}=0.3487\cdots,\\0.9^{11}=0.3138\cdots$$

---

Ghi chú:

• Cơ sở của lôgarit không quan trọng, vì bạn đang tính một tỷ lệ.

• Vì tỷ lệ không gần bằng số nguyên, sử dụng giá trị gần đúng $0.3333$ Ổn.

Answer 3

Sau khi đi qua một tấm kính, cường độ còn lại $= \frac{9x}{10}$ nếu cường độ ban đầu là $x$.

Sau khi đi qua $n$ kính, cường độ còn lại $= (\frac{9}{10})^n \times x \lt \frac{x}{3}$

Answer 4

Bạn cũng có thể chỉ sử dụng một số phép tính cơ bản- $$\frac{dx}{dn}=\frac{x}{10}$$ $$\Rightarrow \int_{x}^{\frac{x}{3}}\frac{1}{x}dx=-\int_{0}^{n}\frac{1}{10}dn$$ $$\Rightarrow \ln{\frac{1}{3}}=-\frac{n}{10}$$ $$\Rightarrow \ln{3}=\frac{n}{10}$$ $$\Rightarrow n≈10.981…$$

Khi chúng ta cần $n$ là một số tự nhiên, $\fbox{n≥11}$