“Biểu tượng” thú vị của $E_\infty$quang phổ -ring
$\newcommand{\Mod}{\mathbf{Mod}} \newcommand{\map}{\mathrm{map}_{E_\infty-A}}$ Giả sử $i:A\to B$ là một bản đồ của $E_\infty$quang phổ -ring. Nó tạo ra một chức năng của$\infty$-Thể loại $\Mod_B\to\Mod_A$ bằng cách hạn chế vô hướng.
Một câu hỏi hợp lý là hỏi khi nào thì điều này hoàn toàn trung thành; nghiên cứu sự kết hợp của phép mở rộng hạn chế của tính từ vô hướng, khá dễ dàng để kiểm tra rằng đây là trường hợp nếu và chỉ khi$B\otimes_A B\to B$ (bản đồ "phép nhân") là một phép tương đương.
Bằng cách nghiên cứu các phần của nó, nếu tôi không nhầm, người ta kiểm tra rằng đây là trường hợp nếu và chỉ khi hai bao gồm $i_0,i_1: B\to B\otimes_A B$ tương đương với bản đồ của $E_\infty$-$A$-các đại số.
Đối với điều này, nó đủ rằng $A\to B$ là một "hiện tượng" của $E_\infty$-$A$-algebras (và tôi nghĩ nó thực sự tương đương), nghĩa là $\map(B,-)\to \map(A,-)$là sự bao gồm của các thành phần; từ$\map(A,-) \simeq *$, điều này có nghĩa là $\map(B,C)$ trống hoặc có thể co lại cho tất cả $C$.
Ví dụ: điều này xảy ra nếu $B$ là một bản địa hóa của $A$ tại một tập hợp các lớp nhất định $S\subset \pi_*(A)$ (ví dụ $\mathbb{S\to Q, Z\to Q}, ku\to KU,$ Vân vân.)
Câu hỏi của tôi là:
Có trường hợp thú vị nào mà điều này xảy ra nhưng nó không phải là bản địa hóa theo nghĩa trên không?
bên trong $1$-categorical case, câu hỏi này được hỏi về các biểu thức của các vành giao hoán (cho$\Mod_B\to \Mod_A$ hoàn toàn trung thành nếu và chỉ khi $A\to B$ là một biến thể), và có những ví dụ không phải là thương số hay bản địa hóa.
Ở đây, thương số thường không thỏa mãn thuộc tính này, như "$x=0$"trở thành cấu trúc bổ sung (ví dụ: $\mathbb F_p\otimes_\mathbb Z\mathbb F_p \simeq \mathbb F_p[\epsilon], |\epsilon|=1$ như $E_1$-algebras), vì vậy có vẻ hợp lý khi hỏi "epimorphisms" có thể trông như thế nào trong cài đặt này.
Trả lời
Nếu $A$ là một $E_\infty$ phổ vòng và $i : A \to B$ là bất kỳ bản đồ của $A_\infty = E_1$ phổ vòng sao cho phép nhân $\mu : B \wedge_A B^{op} \to B$ là một sự tương đương, sau đó $B \simeq LA$ Ở đâu $L$ là một số bản địa hóa Bousfield đột phá trên danh mục $A$-môđun. Đặc biệt,$B$ sẽ là $E_\infty$ và $i$ là một $E_\infty$bản đồ. Đang lấy$A = S$ và $L = L_n$ trở thành bản địa hóa Bousfield đối với lý thuyết Johnson-Wilson $E(n)$, cho $0 < n < \infty$, đưa ra các ví dụ không được đưa ra bởi bản địa hóa đại số ở bất kỳ tập hợp nào $S$ lớp học trong $\pi_*(A)$. Trường hợp$n=1$ tương ứng với bản địa hóa tại ($p$-local) topo $K$-theory, với $B = L_1 S$ liên quan chặt chẽ đến hình ảnh của-$J$quang phổ. Xem Định nghĩa 1.18 của Ravenel's 1984 Amer. J. Toán học. giấy cho khái niệm bản địa hóa đập vỡ và Đề xuất 9.3.3 trong Hồi ký AMS của tôi về mối liên quan đã nêu với "bản đồ đập vỡ".