Định lý Vector-Giá trị Stone-Weierstrass?

Question

Phát biểu chuẩn của định lý Stone-Weierstrass là:

Để cho $X$ là không gian tôpô Hausdorff nhỏ gọn, và $\mathcal{A}$ một đại số con của các hàm liên tục từ $X$ đến $\mathbb{R}$phân tách các điểm. Sau đó$\mathcal{A}$ dày đặc trong $C(X, \mathbb{R})$ trong siêu định mức.

Hầu hết các tài liệu mà tôi có thể tìm thấy về phần mở rộng của định lý Stone-Weierstrass chỉ thảo luận về trường hợp đa biến, tức là, $X\in \mathbb{R}^d$. Tôi tự hỏi liệu định lý này có thể được mở rộng cho các hàm liên tục có giá trị vectơ hay không. Cụ thể, hãy$\mathcal{A}$ là một đại số con của các hàm liên tục $X\to \mathbb{R}^n$, với phép nhân được xác định thành phần chính xác, tức là, $\forall f, g\in \mathcal{A}$, $fg = (f_1g_1, \ldots, f_ng_n)$. Sau đó, chúng tôi sẽ yêu cầu$\mathcal{A}$ dày đặc trong $C(X, \mathbb{R}^n)$ trong siêu định mức nếu $\mathcal{A}$ phân cách điểm?

Bất kỳ câu trả lời trực tiếp hoặc tham khảo sẽ giúp tôi rất nhiều!

Chỉnh sửa: Như Nik Weaver chỉ ra, phỏng đoán ban đầu là sai vì các chức năng của biểu mẫu $x\mapsto (f(x), 0, \ldots, 0)$tạo một ví dụ ngược lại. Tôi tự hỏi liệu có những định lý kiểu Weierstrass không tầm thường về các hàm có giá trị vectơ hay không. Ví dụ, điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta giả định thêm$\mathcal{A}$dày đặc trên mỗi ` trục '?

Answer 1

Tôi nghĩ rằng bạn muốn một cái gì đó như thế này:

Để cho $E\to X$ là một gói vectơ (hạng hữu hạn) trên một không gian tôpô Hausdorff nhỏ gọn $X$, để cho $\mathcal{A}\subset C(X,\mathbb{R})$ là một đại số con phân tách các điểm và để $\mathcal{E}\subset C(X,E)$ hạt đậu $\mathcal{A}$-mô-đun của $C(X,\mathbb{R})$-mô-đun của phần liên tục của $E\to X$. Giả sử rằng, tại mọi thời điểm$x\in X$, bộ $\{\,e(x)\ |\ e\in\mathcal{E}\ \}$ nhịp $E_x$. Sau đó$\mathcal{E}$ dày đặc trong $C(X,E)$ đối với siêu tiêu chuẩn được xác định bởi bất kỳ tiêu chuẩn nào về $E$.

Phụ lục: Đây là bản phác thảo của đối số: Đầu tiên, bằng một đối số dễ hiểu, người ta có thể cho thấy rằng$\mathcal{E}$ chứa một tập hợp hữu hạn $e_1,\ldots e_m$ như vậy mà $e_1(x),e_2(x),\ldots,e_m(x)$ nhịp $E_x$ cho tất cả $x\in X$. Sau đó$\mathcal{E}$ chứa tất cả các phần của biểu mẫu $$a_1\, e_1 + \cdots + a_m\,e_m$$ Ở đâu $a_i\in\mathcal{A}$và mọi phần $e\in C(X,E)$ có thể được viết dưới dạng $$e = f_1\, e_1 + \cdots + f_m\,e_m$$ cho một số chức năng $f_i\in C(X,\mathbb{R})$. Theo Định lý Stone-Weierstrass, cho bất kỳ$\delta>0$, chúng ta có thể chọn $a_i\in \mathcal{A}$ vậy nên $\|f_i-a_i\|<\delta$ cho tất cả $1\le i\le m$. Giờ đây, sự tương đương của tất cả các chuẩn mực trong không gian vectơ chiều hữu hạn có thể được áp dụng (cùng với sự nhỏ gọn của$X$) để kết luận rằng $\mathcal{E}$ dày đặc trong $C(X,E)$ trong bất kỳ siêu chuẩn nào bắt nguồn từ một chuẩn trên gói vectơ (xếp hạng hữu hạn) $E$.

Answer 2

Đây là một bình luận, không phải là một câu trả lời nhưng tôi, than ôi, không có quyền. Định lý Vector giá trị Stone-Weierstraß đã được nghiên cứu rất chi tiết trong nửa sau của thế kỷ trước và có một chuyên khảo toàn diện về chủ đề này của João Prolla ("Weierstraß-Stone, định lý", 1993). Không thuộc chủ đề này, nhưng ông cũng xem xét trường hợp của các hàm có giá trị vectơ bị giới hạn, liên tục trên không gian không compact, sử dụng cấu trúc liên kết chặt chẽ của RC Buck.