Người chơi và vé
Bạn nằm trong số N người chơi sẽ chơi một cuộc thi. Xổ số được sử dụng để xác định vị trí của mỗi người chơi. Bạn có một lợi thế. Hai vé có tên của bạn được đặt trong mũ, trong khi đối với mỗi người chơi khác chỉ có một vé có tên của cô ấy / anh ấy được đặt trong mũ. Chiếc mũ được lắc kỹ và vé được rút từng chiếc một từ mũ. Thứ tự tên xuất hiện xác định vị trí của mỗi người chơi. Xác suất mà bạn sẽ được chỉ định$n$vị trí thứ cho $n = 1, 2, . . . , N$?
Xác suất để tên của tôi được rút ra là $k$lần cố gắng là $\frac{2}{N}(\frac{N-2}{N})^{k-1}$ (tức là nói $k-1$ thất bại trước thành công đầu tiên tại $k$). Tôi biết rằng giải pháp là$\prod_{k=1}^{n-1}\frac{2}{2+N-n}\frac{N-k}{2+N-k}$.
Để cho $A_i$ là sự kiện mà các tổ hợp tên của tôi xuất hiện tại $i$lần thử. Vì thế:
$\mathbb{P}(A_1)=\frac{2}{N+1}$;
$\mathbb{P}(A_2)=\mathbb{P}(\bar{A_1})\mathbb{P}(A_2|\bar{A_1})=(\frac{N-1}{N+1})(\frac{2}{N})$
$\mathbb{P}(A_3)=\mathbb{P}(\bar{A_1}\cap \bar{A_2})\mathbb{P}(A_3|\bar{A_1}\cap \bar{A_2})=(\frac{N-1}{N+1})(\frac{N-2}{N})(\frac{2}{N-1})$.
Vì vậy, tôi nghĩ rằng
$\mathbb{P}(A_n)=(\frac{N-1}{N+1})\cdot (\frac{N-2}{N})\cdot ... \cdot (\frac{N-n-1}{N+1-n})\cdot (\frac{2}{N-n})$
nhưng tôi không thể dẫn tôi đến sản phẩm trên. Tôi sai ở đâu?
Trả lời
Tôi nhận được (gần như) kết quả giống như bạn, với giả định "Khi một cái tên đã được rút ra và đặt, mọi vé trong tương lai có tên đó sẽ bị bỏ qua":
$(\color{green}{\text{green part edited}})$ $$\mathbb{P}(A_n)=\left(\frac{N-1}{N+1}\right)\cdot \left(\frac{N-2}{N}\right)\cdot ... \cdot \color{red}{\left(\frac{N-n+1}{N+3-n}\right)}\cdot \left(\frac{2}{N\color{green}{+2}-n}\right),$$
có $n-1$ điều khoản giải quyết đầu tiên $n-1$trận hòa không thành công và trận cuối cùng với trận hòa thành công. Các mẫu số giảm đi 1 trong mỗi hệ số vì số lượng vé rút ra giảm đi 1 sau mỗi lần rút thăm. Cho lần đầu tiên$n-1$ số hạng (lần rút thăm không thành công) thì điều tra viên cũng giảm đi 1, do đó, sự khác biệt giữa mẫu số và điều tra viên sẽ luôn là $2$ trong các điều khoản đó (đại diện cho 2 vé của bạn).
Kết quả đó có thể được viết là
$$\frac{2}{N\color{green}{+2}-n}\prod_{k=1}^{n-1}\frac{N-k}{N+2-k}.$$
"Giải pháp đã biết" của bạn đang cung cấp sản phẩm trống cho $n=1$, vì vậy điều đó có nghĩa là xác suất 1, rõ ràng là không đúng. Vì vậy, hãy kiểm tra xem bạn đã sao chép chính xác chưa.
Giải pháp của bạn đơn giản hóa rất nhiều. Vì một số lý do, \ hủy không hoạt động, vì vậy tôi đã cố gắng chỉ ra ý của tôi bằng cách hiển thị các cụm từ hủy bằng cùng một màu. Thật không may, tôi chỉ có thể hiển thị một số thuật ngữ đầu tiên theo cách này.
$$\frac{\color{red}{N-1}}{N+1}\frac{\color{blue}{N-2}}{N} \frac{\color{green}{N-3}}{\color{red}{N-1}} \frac{\color{orange}{N-4}}{\color{blue}{N-2}}\dots $$
Đây là một cách tốt hơn để làm điều đó.
Để cho $1\leq n\leq N$được đưa ra.
Để cho$A$ là sự kiện mà tên của bạn có trên $n$vé thứ. Để cho$B$ là sự kiện mà bạn không có tên trên bất kỳ vé nào $1,2,\dots,n-1$. Chúng ta tìm kiếm$\Pr(A\cap B)$.
$$\Pr(A\cap B) = \Pr(A)\Pr(B|A) = \boxed{\frac2{N+1}\frac{N+1-n}{N}}$$
Thuật ngữ đầu tiên là hiển nhiên. Đối với thứ hai, có$N$ những nơi mà chiếc vé khác có tên của bạn có thể ở, và $N+1-n$ trong số họ đến sau $n$vé thứ.
Nếu bạn thực hiện đơn giản hóa được mô tả ở trên, bạn sẽ đi đến câu trả lời đơn giản này.
Có thể tôi không hiểu thí nghiệm xác suất này đang được tiến hành như thế nào, nhưng tôi nhận được một câu trả lời khác với những người khác. Có thể ai đó có thể chỉ ra lý do tại sao lý luận của tôi là không đúng, nếu có?
Giả sử khi tên của người chơi đã được chọn, mọi vé tương lai có tên đó sẽ bị bỏ qua.
Số cách vé có thể được rút ra để tên của bạn hiển thị trong $n^{th}$ khe là ${2 \choose 1} \cdot {{N-1} \choose {N-1}} \cdot (N-1)!$
Tổng số cách rút được vé là ${2 \choose 1}\cdot {{N-1} \choose {N-1}} \cdot N!$
Việc phân chia hai điều này mang lại khả năng đáng mơ ước $$\frac{ 2 \cdot {{N-1} \choose {N-1}} \cdot (N-1)! }{ 2 \cdot {{N-1} \choose {N-1}} \cdot N! }=\frac{1}{N}$$
Để thấy điều này, chúng ta có thể xem xét một ví dụ cụ thể. Giả sử bạn là người số 1 chơi xổ số với$N-1=2$ những người khác và $ \{1,1^*\} $ đại diện cho hai vé đóng góp của bạn trong số $N+1=4$vé trong mũ. Chúng tôi sẽ biểu thị bộ sưu tập của tất cả các vé trong mũ bằng$\{1,1^*,2,3\}$. Chúng tôi có thể liệt kê tất cả${2 \choose 1}\cdot {{3-1} \choose {3-1}} \cdot 3!=12$ các chuỗi có thể có của tên một cách rõ ràng: $$\{1,2,3\}, \{ 1,3,2\}, \{ 2,1,3\}, \{ 3,1,2\}, \{2,3,1 \},\{3,2,1 \}$$ $$\{1^*,2,3\}, \{ 1^*,3,2\}, \{ 2,1^*,3\}, \{ 3,1^*,2\}, \{2,3,1^* \},\{3,2,1^*\}$$ Xác suất bạn được chỉ định cho $n^{th}$ vị trí là $ \frac{1}{N}=\frac{1}{3}$ cho $n=1,2,3$ điều đó hoàn toàn có ý nghĩa đối với tôi.