"Các phần tử" của một số thực
Câu hỏi này về cơ bản là một diễn giải của một câu hỏi riêng biệt (đã bị xóa), nói về nhận xét của Asaf Karagila về "các yếu tố của$\pi$".
Tôi biết cách các số tự nhiên có thể được xem như là tập hợp , vì vậy, ví dụ$3$ có thể được xem như bộ $\{\:\emptyset, \{\emptyset\}, \{\emptyset, \{\emptyset\}\}\:\}$, có các yếu tố $\emptyset, \{\emptyset\}, \{\emptyset, \{\emptyset\}\}$. Điều này có vẻ khá cụ thể và tự nhiên.
Tôi có thể thấy rằng chúng ta có thể điều chỉnh điều này để xử lý các số nguyên, ví dụ: thêm vào một tập hợp trống thứ hai làm phần tử "điểm đánh dấu" (vì vậy $-3$ tương ứng với $\{\:\emptyset, \emptyset, \{\emptyset\}, \{\emptyset, \{\emptyset\}\}\:\}$). Tôi cũng có thể thấy rằng chúng ta có thể điều chỉnh ý tưởng "đánh dấu" này để xử lý các số hữu tỉ (là các cặp số nguyên và chúng ta "đánh dấu" số trên cùng và số dưới cùng theo một cách nhất định). Tuy nhiên, tôi đã thấy lo lắng ở đây vì điều này có vẻ tổng hợp hơn nhiều so với cách chúng ta xem các số tự nhiên.
Dù sao. Tôi không rõ một con số như thế nào$\pi$ hoặc là $e$có thể có các phần tử. Một cách có thể là xem những con số này như giới hạn của các chuỗi và như vậy là danh sách các số hữu tỉ. Tuy nhiên, điều này có vẻ đáng ngờ vì những con số này là giới hạn của chuỗi bội số, vì vậy điều này không cung cấp cho tôi một tập hợp chính tắc đại diện cho những số này, mà thay vào đó là một họ các tập hợp. Điều này có ổn không, hay lý luận của tôi bị hỏng?
Vì vậy, điều tôi muốn hỏi là:
Các yếu tố của $e$?
Hay, tinh tế hơn, câu hỏi này có ý nghĩa không, hay chúng ta nên loại bỏ từ "the" khỏi nó?
Trả lời
Các bit chính xác trong chuỗi là câu trả lời của tôi là gì? Vâng, điều đó phụ thuộc vào cách bạn mã hóa nó. Đó có phải là UTF-8, hoặc có thể là UTF-16, hoặc có thể là ASCII. Có thể bạn đang sử dụng một trình duyệt biểu thị các chuỗi dưới dạng chuỗi kết thúc bằng null hoặc có thể đó là một loại đối tượng phức tạp hơn.
Vấn đề là, chuỗi văn bản mà bạn đang đọc này có vô số cách, tất cả đều hợp lệ và hữu ích theo cách riêng của chúng, để trở thành một chuỗi các bit trong bộ nhớ máy tính của bạn.
Tương tự như vậy, số thực, như hầu hết mọi người thường nghĩ về chúng, chỉ là một thực thể trừu tượng. Giống như một chuỗi văn bản. Lý thuyết tập hợp, và thực sự là bất kỳ nền tảng nào của toán học, thực hiện các thực thể trừu tượng này dưới dạng các tập hợp (hoặc trong các nền tảng khác). Tập hợp chính xác nào là tập số thực? Điều đó phụ thuộc vào cách bạn thực hiện chúng.
Cái gọi là tuyến chuẩn trong trường hợp các số thực và $\sf ZFC$ (và các lý thuyết tập hợp liên quan của nó), sẽ là:
- Sửa một bảng mã của các cặp có thứ tự, thường là ghép nối Kuratowski.
- Sử dụng $\omega$, thứ tự vô hạn nhỏ nhất, để mô hình hóa các số tự nhiên.
- Định nghĩa $\Bbb Z$ như thương số của $\omega\times\omega$ theo cách đại số.
- Định nghĩa $\Bbb Q$ như thương số của $\Bbb{Z\times Z}$ theo cách đại số.
- Định nghĩa $\Bbb R$ như một sự hoàn thành của $\Bbb Q$, trong trường hợp lý thuyết tập hợp có phần tự nhiên hơn thông qua các vết cắt của Dedekind.
Trong trường hợp đó, các yếu tố của $e$, hoặc thực sự là bất kỳ số thực nào, là các số hữu tỉ nhỏ hơn $e$. Nhưng những số hữu tỉ là gì? Vâng, đó là những tập hợp các cặp số nguyên, bản thân chúng là tập hợp các cặp số thứ tự hữu hạn, bản thân chúng có một cấu trúc khá dễ hiểu.
Tuy nhiên, đó không phải là cách duy nhất để mã hóa các số thực. Chúng ta có thể chọn một cách khác để mã hóa các cặp có thứ tự hoặc chúng ta có thể sử dụng phép hoàn thành Cauchy bằng cách sử dụng các lớp tương đương của chuỗi Cauchy của các số hữu tỉ. Chúng tôi có thể mã hóa các số nguyên khác nhau hoặc chúng tôi có thể quyết định chuyển từ$\omega$ đến các số hữu tỉ không âm, và chỉ sau đó giới thiệu các số âm.
Có rất nhiều cách mã hóa một số thực thành tập hợp. Trên thực tế, chúng ta có thể lấy bất kỳ bộ kích thước nào$2^{\aleph_0}$, chạy "tuyến đường tiêu chuẩn", sau đó sử dụng bijection để tạo mã hóa này. Trong lý thuyết tập hợp, các số thực thường được coi là:
- Tập hợp con của $\omega$.
- Các chức năng từ $\omega$ đến $\omega$.
- Các chức năng từ $\omega$ đến $2$.
- Một số kết hợp của các bộ trên.
Điều này phụ thuộc vào ngữ cảnh. Cũng giống như câu hỏi liệu chuỗi bạn đang đọc có được biểu diễn theo cách này hay cách khác phụ thuộc vào trình duyệt bạn đang sử dụng, hệ điều hành bạn đang sử dụng, v.v.
Vì vậy, đối với câu hỏi của bạn, các yếu tố của$e$? Vâng, điều đó phụ thuộc vào bộ nào là$e$.
Theo Dedekind , hãy lập mô hình mọi số thực dưới dạng một tập hợp con thích hợp đóng xuống của các số hữu tỉ không có phần tử lớn nhất. Sau đó$$e=\{x\in\mathbb Q:x<2.7\dots\}=\left\{\frac01,\frac11,-\frac11,\frac21,-\frac21,\frac12,-\frac12,-\frac31,\frac13,-\frac13,\frac23,-\frac23,\frac32,-\frac32,-\frac41,\dots\right\}$$
Nó phụ thuộc vào cách bạn xác định các số thực.
Các phương pháp dãy Cauchy để xác định các số thực là một chút phức tạp hơn so với phương pháp Dedekind. Một số thực trong định nghĩa này là một lớp tương đương của dãy Cauchy các số hữu tỉ.
Điều này có nghĩa là một phần tử là một chuỗi Cauchy duy nhất $(x_n)_{n=1}^{\infty}$ của số hữu tỉ hội tụ thành $e,$ hoặc ít theo chu kỳ hơn, đã cho:
$$e_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k!}$$ chúng ta có $(x_n)_{n=1}^{\infty}\in e$ nếu $x_n-e_n\to 0.$
Cấu trúc tiêu chuẩn đã có của $\Bbb Z$ từ $\Bbb N$khác với ý tưởng đặc biệt của bạn (nhưng có lẽ là gọn gàng hơn rất nhiều). Chúng tôi sẽ sử dụng nhiều các cặp và các quan hệ tương đương trong quá trình này. Vì vậy, hãy nhớ rằng đối với các cặp có thể sử dụng định nghĩa của Kuratowski$$ (a,b):=\{\{a\},\{a,b\}\}$$ Chúng tôi định nghĩa là tập hợp các lớp tương đương của các cặp số tự nhiên, $$\Bbb Z:=\Bbb N^2/{\sim}$$ Ở đâu $$ (a,b)\sim(c,d)\iff a+d=b+c.$$ Và chúng tôi tiêm $\Bbb N\to \Bbb Z$ thông qua $n\mapsto \overline{(n,0)}$. Với cái này,$0\in\Bbb Z$ là bộ $$\tag1\{\,(n,n)\mid n\in\Bbb N\,\}=\{\,\{\{n\}\}\mid n\in\Bbb N\,\}=\{ \{\{\emptyset\}\}, \{\{ \{\emptyset\} \}\}, \{\{\{ \{\emptyset,\{\emptyset\}\} \}\}\},\ldots\} $$ và đã phức tạp hơn rất nhiều so với $0=\emptyset\in\Bbb N$ chúng tôi đã có trước đây.
Tiếp theo, chúng tôi thường xác định $\Bbb Q$ dưới dạng các lớp tương đương của các cặp số nguyên, $$ \Bbb Q:=\Bbb Z\times(\Bbb Z\setminus 0_{\Bbb Z})/{\sim}$$ thời gian này ở đâu $$(a,b)\sim (c,d)\iff ad=bc. $$ Và chúng tôi tiêm $\Bbb Z\to \Bbb Q$ thông qua $k\mapsto \overline{(k,1)}$.
Có thể có một số cách để đạt được thực tế. Tôi muốn đề xuất cắt Dedekind, nhưng khác với nguyên tác của Dedekind (các cặp tập hợp các số hợp lý), tôi sẽ đề nghị chỉ sử dụng các tập hợp số hữu tỷ đơn lẻ (với các thuộc tính cụ thể)$$\Bbb R:=\{\,A\in\mathcal P( \Bbb Q)\mid A\ne\emptyset\land A\ne\Bbb Q\land \forall x\in A,\exists y\in A, y>x\land \forall x\in A,\forall y\in \Bbb Q,y<x\to y\in A\,\}.$$
Với điều này, các yếu tố của $\pi$ đơn giản là tất cả các số hữu tỉ $<\pi$ (ví dụ $3$ hoặc là $\frac{22}7$ hoặc là $-42$). Đặc biệt$0$ là một yếu tố như vậy, nhưng nó không phải $0=0_{\Bbb N}=\emptyset$, cũng không $0_{\Bbb Z}$ diễn tả cái $(1)$ ở trên, nhưng lớp tương đương của phân số $\{\,(0_{\Bbb Z},n)\mid n\in\Bbb Z, n\ne0_{\Bbb Z}\,\}$.