Phân biệt các hyperreals với các bộ
Để cho $^\ast\mathbb{R}$ là một tập hợp các siêu thực, được xây dựng như một sản phẩm siêu mỏng không phải chính trên thực, và để $x\in {^\ast\mathbb{R}}$ và $y\in {^\ast\mathbb{R}}$là hai số siêu thực khác nhau. Luôn luôn có một bộ thực sự$A\subset\mathbb{R}$ như vậy mà $x \in {^\ast A}$ nhưng $y\notin {^\ast A}$?
Vấn đề này có thể được nêu ra mà không cần đề cập đến hyperreals: Hãy $\mathcal U$ là một siêu lọc (không phải chính) trên $\mathbb N$ và để $(x_n)$ và $(y_n)$ là các chuỗi thực sự sao cho $\{n: x_n \neq y_n\} \in \mathcal U$. Có một bộ$A \subset \mathbb R$ như vậy mà $\{n: x_n \in A\} \in \mathcal U$, nhưng $\{n: y_n \in A\} \notin \mathcal U$?
Tôi hầu như không biết gì về chủ đề này, vì vậy tôi chỉ loại trừ hai cách tiếp cận đơn giản:
- Nếu $N:=\{n: x_n \neq y_n\}$, sau đó $A := \{x_n: n\in N\}$ không nhất thiết phải như yêu cầu: $(x_n) = (0,1,0,1,\dots)$ và $(y_n) = (1,0,1,0,\dots)$ với $N = \mathbb N$ và $A = \{0,1\}$. (Cách tiếp cận này có thể hữu ích nếu có một số "đủ nhỏ"$N\in \mathcal U$ như vậy mà $x_n \neq y_n$ cho tất cả $n\in N$.)
- Các trình tự $(x_n) = (1/n)$ và $(y_n) = (1/(n+1))$ không phải là một ví dụ ngược lại: Hãy $E$ là tập hợp các số tự nhiên chẵn và giả sử, wlog, $E \in \mathcal U$. Để cho$A := \{1/n: n\in E\}$. Sau đó$\{n: x_n \in A\} = E \in \mathcal U$ và $\{n: y_n \in A\} = \mathbb N\setminus E \notin \mathcal U$ (từ $\mathcal U$ là một máy siêu lọc).
Mọi thông tin chi tiết tương ứng về hyperreals hoặc siêu lọc đều được hoan nghênh!
Trả lời
Giả sử rằng bất cứ khi nào $x=\langle x_n:n\in\Bbb N\rangle$ và $y=\langle y_n:n\in\Bbb N\rangle$ là các chuỗi trong $\Bbb N$ như vậy mà $(\mathscr{U}n)(x_n\ne y_n)$, Đây là một $A\subseteq\Bbb N$ như vậy mà $(\mathscr{U}n)(x_n\in A)$ và $(\mathscr{U}n)(y_n\notin A)$, Ở đâu $(\mathscr{U}n)\varphi(n)$ viết tắt $\{n\in\Bbb N:\varphi(n)\}\in\mathscr{U}$, và để $x$ và $y$là một cặp chuỗi như vậy. Sau đó, có một$U\in\mathscr{U}$ như vậy mà
$$\{x_n:n\in U\}\cap\{y_n:n\in U\}=\varnothing\,.\tag{1}$$
Đang xem $x$ và $y$ như các chức năng từ $\Bbb N$ đến $\Bbb N$, chúng ta có thể viết lại $(1)$ như $x[U]\cap y[U]=\varnothing$. Để cho
$$\mathscr{X}=x(\mathscr{U})=\{X\subseteq\Bbb N:x^{-1}[X]\in\mathscr{U}\}$$
và
$$\mathscr{Y}=y(\mathscr{U})=\{Y\subseteq\Bbb N:y^{-1}[Y]\in\mathscr{U}\}\,;$$
$\mathscr{X}$ và $\mathscr{Y}$ siêu lọc đang bật $\Bbb N$, $x[U]\in\mathscr{X}$và $y[U]\in\mathscr{Y}$, vì thế $\mathscr{X}\ne\mathscr{Y}$.
Vì vậy, $x(\mathscr{U})\ne y(\mathscr{U})$ bất cứ khi nào $x\ne y\pmod{\mathscr{U}}$và $\mathscr{U}$do đó là một siêu lọc Hausdorff trên$\Bbb N$. Thật không may, trong bài báo tại liên kết Bartoszynski và Shelah cho thấy rằng không có máy siêu lọc Hausdorff trên$\Bbb N$, vì vậy ít nhất phải nhất quán rằng câu trả lời cho câu hỏi của bạn là không .