Tổng quát về hàm Liouville Lambda

Question

Để cho $n=p^{\alpha_1}_1 \cdots p^{\alpha_m}_m,$ và xác định $$\lambda_k(n)= (-1)^{ [\frac{\Omega(n)}{k} ]},$$ Ở đâu $\Omega(n)= \alpha_1 + \cdots + \alpha_k,$ và $[\cdot]$ là chức năng của tầng.

Đối với $k=1$, $\lambda_1$là hàm Liouvilles Lambda. Đối với$k=2$:

$\lambda_2(1)=1, \hspace{2 mm} \lambda_2(p_1)=1, \hspace{2 mm} \lambda_2(p_1p_2)=-1, \hspace{2 mm} \lambda_2(p_1p_2p_3)=-1 \hspace{2 mm} \text{ and so on...}.$

-Có ai biết về chức năng này không?

-Nếu cho $\Re(s)>1$ Chúng tôi xác định $$L(s, \lambda_2):= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\lambda_2(n)}{n^s},$$

Có mối liên hệ nào giữa $L_{\lambda_2}(s)$ và các số không của hàm Riemann zeta?

-Tôi đoán (mà không biết làm thế nào để chứng minh) rằng $$\sum_{n<x} \lambda_2(n) = o(x),$$ tương tự như $\lambda_1$ chúng ta có nên mong đợi sự hủy bỏ căn bậc hai trên tổng của $\lambda_2$ cũng?

Answer 1

Hãy chỉ xem xét trường hợp $k=2$; bạn có thể cố gắng tổng quát hóa đối số này cho$k$. Đối với$k=2$, $$ \sum_{n\le x} \lambda_2(n) = \sum_{\substack{ n\le x \\ \Omega(n) = 0,1 \mod 4}} 1 - \sum_{\substack{ n\le x \\ \Omega(n) = 2,3 \mod 4}} 1. $$ Điều này có thể được biểu thị bằng $$ \text{Re} \sum_{n\le x} i^{\Omega(n)} + \text{Im} \sum_{n\le x}i^{\Omega(n)}, $$và bây giờ người ta có thể sử dụng Selberg - Delange. Điều này sẽ hiển thị một mở rộng tiệm cận cho$\sum_{n\le x} i^{\Omega(n)}$, và số hạng hàng đầu trong tiệm cận là $$ C x (\log x)^{i-1}, $$ cho một hằng số thích hợp $C$. Vì vậy, bạn có thể tìm thấy một tiệm cận cho tổng của bạn, sẽ có dạng$$ A \cos(\log \log x) \frac{x}{\log x} + B \sin(\log \log x) \frac{x}{\log x}, $$ cho các hằng số phù hợp $A$ và $B$. Kỳ dị! Nhưng sau đó bạn cũng đang nhìn vào một vật thể lạ!