Counterexample của bổ đề Schur

Question

Tôi đang nghiên cứu lý thuyết biểu diễn cơ bản bằng GTM$42$, gặp sự cố về bổ đề Schur:

Bổ đề Schur . Được$G$ một nhóm, $V$ một không gian vectơ trên $\mathbb C$ và một đại diện không thể giải thích được $\rho : G \to Gl(V)$. Nếu một bản đồ tuyến tính$f : V \rightarrow V$ đi làm với tất cả $\rho_g, g\in G$, sau đó $f=\lambda$ cho một số $\lambda\in \mathbb C$.

Việc chứng minh bổ đề này phụ thuộc vào thực tế rằng $\mathbb C$là đóng đại số. Bây giờ tôi được yêu cầu đưa ra một ví dụ ngược lại của bổ đề này khi$V$ đang trên $\mathbb Q$ nhưng không thể tìm thấy một nhóm (không quen thuộc với các nhóm con của $Gl(n,\mathbb Q)$). Hơn nữa, tôi đang tự hỏi liệu có tồn tại một ví dụ đối số cho bất kỳ trường nào không được đóng đại số hay không.

Bất kỳ trợ giúp sẽ được đánh giá cao.

Answer 1

Bổ đề Schur dựa vào sự tồn tại của đủ các giá trị riêng. Vậy đi$f$để không có giá trị riêng trong trường cơ sở. Hãy xem xét ví dụ quay của mặt phẳng hợp lý$f = \begin{bmatrix} 0&-1\\1&0\end{bmatrix}$. Điều này$f$ có đơn hàng 4, vì vậy tôi sẽ lấy $G = \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ với $1\mapsto f$.

Hiện nay $\mathbb{Q}^2$ là một biểu diễn bất biến (vì bất kỳ không gian con bất biến thích hợp nào cũng phải là một chiều) biểu diễn $G$ và $f\colon\mathbb{Q}^2\to\mathbb{Q}^2$ Là $G$-linear, nhưng không phải là phép nhân vô hướng. Ngẫu nhiên, điều này cũng đưa ra một ví dụ về biểu diễn bất khả quy của một nhóm abel không có thứ nguyên 1. (Điều này cũng áp dụng cho bất kỳ trường nào không có căn bậc hai của$-1$).