Gradient trong tọa độ hình cầu

Question

Tôi đang cố lấy vectơ gradient trong tọa độ cực hình cầu: $$\nabla = \left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z} \right)$$Phương pháp tôi đang cố gắng sử dụng khác với hầu hết các bài báo / video mà tôi đã tìm thấy và tôi không hiểu tại sao nó không hoạt động. Tôi có thể nhận được biểu thức cho vi phân Cartesian:$dx, dy, dz$. Đầu tiên, tôi chỉ đang cố gắng tìm$\frac{\partial}{\partial x}$trong hệ tọa độ cầu. Tôi có:$$dx= \cos \theta \sin \phi dr + r \cos \theta \cos \phi d \theta + r \sin \theta \sin \phi d \phi$$ Điều này nghe có vẻ lạ nhưng trực giác đầu tiên của tôi đã nói rằng: $$\frac{\partial}{\partial x} = \frac{ \partial }{ \cos \theta \sin \phi dr + r \cos \theta \cos \phi d \theta + r \sin \theta \sin \phi d \phi} $$ Điều đó dường như không có ý nghĩa gì bây giờ :(. Nếu logic của tôi là sai, ai đó có thể giải thích cho tôi tại sao không?

Answer 1

Đây là một ví dụ cổ điển về lý do tại sao lại đối xử như $\frac{dy}{dx}$như một phân số theo nghĩa đen chứ không phải là ký hiệu viết tắt cho một giới hạn là xấu. Nếu bạn muốn lấy nó từ vi phân, bạn nên tính bình phương của phần tử đường$ds^2 .$ Bắt đầu với $$ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2$$ trong tọa độ Descartes và sau đó hiển thị

$$ds^2 = dr^2 + r^2 d\theta^2 + r^2 \sin^2 (\theta) d\varphi^2 \; .$$Hệ số trên các thành phần của gradient trong hệ tọa độ cầu này sẽ bằng 1 trên căn bậc hai của các hệ số tương ứng của phần tử đường. Nói cách khác

$$\nabla f = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{1}}\frac{\partial f}{\partial r} & \frac{1}{\sqrt{r^2}}\frac{\partial f}{\partial \theta} & \frac{1}{\sqrt{r^2\sin^2\theta}}\frac{\partial f}{\partial \varphi} \end{bmatrix} \; .$$ Hãy nhớ rằng gradient này có các vectơ cơ sở được xác định.

Đối với một hệ tọa độ tổng quát (không nhất thiết phải có cơ sở trực chuẩn), chúng tôi tổ chức phần tử đường thành một "ma trận" đối xứng với hai chỉ số $g_{ij} .$ Nếu phần tử dòng chứa một thuật ngữ như $f(\mathbf x)dx_kdx_\ell\; \;$ sau đó $g_{k\ell} = f(\mathbf x).\;$ Sau đó, gradient được biểu thị bằng

$$\nabla f = \sum_i \sum_j \frac{\partial f}{\partial x_i}g^{ij}\mathbf e_j$$ Ở đâu $\mathbf e_j$ không nhất thiết phải là một vectơ chuẩn hóa và $g^{ij}$ là ma trận nghịch đảo của $g_{ij}$.