Kan thay thế hữu hạn $\mathbb{Q}$-type simplicial set

Question

Xin lỗi nếu câu hỏi này có lẽ hơi cơ bản, nhưng nó thuộc chủ đề khá chuyên biệt nên tôi nghĩ nó phù hợp với MO hơn là SE.

Giả sử rằng $X$là một tập hợp đơn giản có vô số đơn giản không suy biến trong mọi chiều đơn giản. Sau đó, tất nhiên$X$ có hữu hạn $\mathbb{Q}$-type (tức là $H_n(X;\mathbb{Q})$ là chiều hữu hạn như $\mathbb{Q}$-không gian quản lý cho tất cả $n\ge1$).

Để cho $Y$ là một giải pháp xơ xác của $X$, đó là, $Y$ là một phức hợp Kan và chúng tôi có một điểm tương đương yếu $X\stackrel{\sim}{\to}Y$. Tôi muốn nói rằng$Y$ cũng có hữu hạn $\mathbb{Q}$-kiểu. Điều này có đúng không?

Đây là nơi tôi gặp khó khăn: chúng tôi biết rằng hữu hạn $\mathbb{Q}$-type tương đương với $\pi_n(Y;\mathbb{Q})$ là chiều hữu hạn cho tất cả $n\ge2$ và $H_1(Y;\mathbb{Q})$là chiều hữu hạn. Phần đầu tiên của điều kiện giữ vì nó giữ cho$X$ và $Y$ tương đương với $X$. Tuy nhiên, tôi không chắc làm thế nào để hiển thị điều đó$H_1(Y;\mathbb{Q})$ là chiều hữu hạn.

Bất kỳ trợ giúp và / hoặc tài liệu tham khảo sẽ được đánh giá rất cao! Tôi cũng lặp lại trong trường hợp chúng tôi chỉ giả định$X$ thuộc loại hữu hạn (hy vọng sẽ hoạt động với cùng một bằng chứng).

Answer 1

Sự tương đương yếu của các tập hợp đơn giản tạo ra các đẳng cấu trên các nhóm tương đồng đơn giản. Đặc biệt, tính chất của việc có các nhóm tương đồng hữu tỉ hữu hạn chiều được bảo toàn dưới các tương đương yếu.

Cách dễ nhất để chứng minh điều này ngay từ đầu là quan sát rằng bộ chức năng mô-đun đơn giản miễn phí (trong trường hợp này, chúng tôi sử dụng mô-đun trên các số hữu tỉ) là một bộ chức năng Quillen bên trái từ cấu trúc mô hình Kan-Quillen trên các bộ đơn giản đến cấu trúc mô hình xạ ảnh trên các mô-đun đơn giản vì liền kề bên phải bảo tồn các lễ kỷ niệm và các lễ kỷ niệm theo chu kỳ. Đặc biệt, bộ chức năng mô-đun đơn giản miễn phí bảo tồn các điểm tương đương yếu vì tất cả các bộ đơn giản đều là cofibrant. Do đó, các tương đương yếu của các tập đơn giản được gửi đến các môđun tương đương yếu của các môđun đơn giản, mà sau khi chuyển đến các chuỗi chuẩn hóa sẽ trở thành các bán đẳng cấu của các phức chuỗi, do đó tạo ra các đẳng cấu trên các nhóm tương đồng.