Mỏng ở kích thước nào?

Question

Nhớ lại từ này câu hỏi mà chúng ta gọi là một số nguyên dương slimdownable hoặc mỏng cho ngắn nếu nó là một phần của một chuỗi các số nguyên trong đó mỗi Tiếp theo là bản thân chia cho nó dài , tức là số của chữ số. Đặc biệt, mỗi số phải chia hết cho độ dài của nó và dãy số sẽ giảm dần cho đến khi nó chạm đến một số có một chữ số.

Ví dụ:

108: mỏng vì $108\overset{/3}{\rightarrow}36\overset{/2}{\rightarrow}18\overset{/2}{\rightarrow}9\overset{/1}{\circlearrowleft}$

78: không mỏng vì $78\overset{/2}{\rightarrow}39\overset{/2}{\rightarrow}\Vert$

Chứng minh hoặc bác bỏ điều đó đối với bất kỳ số nguyên dương nào $n$ tồn tại một số mỏng với $n$ các chữ số.

Lưu ý: bạn có thể sử dụng máy tính để tạo ra một ví dụ bộ đếm hoặc, ví dụ, để bổ sung cho một kết quả tiệm cận, hoặc bất kỳ thứ gì khác mà bạn thấy phù hợp. Nếu bạn chọn làm như vậy, để xác thực mã của bạn, vui lòng trả lời các câu hỏi kiểm tra sau:

Có giải pháp nào với $11111$chữ số? Nếu có: Bao nhiêu? 10 số đầu tiên của trung vị của chúng là gì?
Cho mỗi$n$ giữa $1$ và $11111$ tính số od giải pháp với $n$các chữ số. Số đếm lớn nhất là gì?

Đây là một trường hợp thử nghiệm mà bạn có thể sử dụng như một kiểm tra nhanh chóng cho mã của mình:

Có 3590 chữ số có bốn nghiệm. Tất cả đều giảm xuống$6$. Mười chữ số đầu tiên của các số này là '3159252337 ...', '3735860235 ...', '4606981484 ...', '6706597705 ...'.

Answer 1

Phần kết luận:

Bất cứ gì $n$-digit number, không thể tồn tại một số mỏng cho tất cả các số nguyên dương $n$.

Lý luận:

Cho tất cả $n$, phải có nhiều $n$ đó là $n$-digits dài.

Hãy gọi cho chúng tôi $n$-số chữ số $Z$.
Hãy tính đến điều đó trong$10^{ceil(log(n))}$ - hãy gọi cái này $a$, phải có $a/n$ bội số của $n$. Điều này cung cấp cách của chúng tôi trong quá trình giảm béo.
Hãy nhìn lại$Z$. Bằng 2 bước trước đó, với điều kiện chúng ta chọn đúng$Z$, sẽ có ít nhất một số $y$ chiều dài $(n-a)$ hoặc là $(n-a+1)$ Ở đâu $y = Z/n$ và có thể được thể hiện bằng một $Z$ để lặp lại quá trình.

Giờ đây, tôi tự hào là chủ nhân của bảng tính Excel đã tạo các giá trị mới bắt đầu từ 5-9 (vì 1-4 không thể tạo số có 2 chữ số) và kết thúc khi Excel gặp lỗi #Value.

Hình ảnh dưới đây theo thứ tự giảm dần (9 đến 5)

Những gì ăn mòn tôi là lớn $n$.

Đối với $n$ = 1 tỷ, tôi không thể đảm bảo rằng sẽ có một con số nhỏ cho $n$từ 1 tỷ - 1 đến 1 tỷ - 9, đặc biệt vì tôi chỉ có 5 con đường khởi đầu.
Và vì khoảng cách sẽ ngày càng rộng hơn khi$n\rightarrow\infty$, không thể có một số mỏng cho tất cả các số nguyên dương$n$.

ví dụ: Đối với$n$ = $1E1,000,000$, phép chia của tôi sẽ khiến số đầu tiên giảm đi 6 bậc và tôi có thể điền khoảng cách chỉ với 5 con đường xác định, nhưng cuối cùng, nó sẽ không được lấp đầy.