ODE trong biến $r$

Question

Tôi chắc rằng đây là một câu hỏi đơn giản nhưng tôi sẽ cần trợ giúp.

Trong khi cố gắng giải một PDE bằng cách sử dụng tách các biến, tôi đã bắt gặp ODE.

Tôi muốn giải quyết ODE sau: $$\frac{R''(r)+\frac{2}{r}R'(r)}{R(r)}=-\lambda^2$$

Giải pháp là $A\cos(\lambda r)/r +B\sin(\lambda r)/2\lambda r$

Nó sẽ kiểm tra khi bạn cắm vào nhưng làm thế nào để chúng tôi thực sự có được giải pháp?

Answer 1

$$\frac{R''(r)+\frac{2}{r}R'(r)}{R(r)}=-\lambda^2$$ $$r{R''(r)+{2}R'(r)}=-rR(r)\lambda^2$$ Viết lại nó thành: $$(rR(r))''=-rR(r)\lambda^2$$ $$(rR(r))''+rR(r)\lambda^2=0$$ Bây giờ chỉ cần giải quyết nó như: $$y''+\lambda^2y=0$$ Ở đâu $y=rR(r)$. Nó chỉ là một phương trình vi phân tuyến tính bậc hai rất dễ giải.