Thành phần của Liên tục [Tôpô]

Question

Tôi đang cố gắng chứng minh tuyên bố của chính mình.

Có ba không gian tôpô, $(X_1, T_1)$, $(X_2, T_2)$ và $(X_3, T_3)$. Đặt$G_i$ là một tập hợp mở của mỗi $(X_i, T_i)$

Nói $f: (X_1, T_1) \to (X_2, T_2)$ và $g: (X_2, T_2) \to (X_3, T_3)$

Thì câu lệnh dưới đây có đúng không?

Tuyên bố) Cả hai $f$ và $g$ liên tục $\iff $ $g\circ f : (X_1, T_1) \to (X_3, T_3)$ là liên tục.

Trong trường hợp của hướng "$\Rightarrow$"

$g\circ f$ liên tục bởi vì $f^{-1}(G_1) \in T_1$ và $f^{-1}(G_2) \in T_2$ cho $\forall G_1, G_2$

Vì vậy, tôi có thể dễ dàng kết luận $(g\circ f)^{-1} (G_3) \in T_1$ (Tức là liên tục)

Nhưng trường hợp ngược lại "$\Leftarrow$", Tôi không biết bất kỳ ý tưởng nào chứng minh điều đó cũng như bất kỳ ví dụ phản bác nào.

Bất kỳ trợ giúp sẽ được đánh giá cao, cảm ơn.

Answer 1

Câu trả lời là "không", ngay cả khi $g=f$. Xem xét$\mathbb{R}$ với cấu trúc liên kết Euclide và

$$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$ $$f(x)=\begin{cases} 1 &\text{if }x\geq 0 \\ 0 &\text{otherwise} \end{cases}$$

và lưu ý rằng $f$không liên tục. Nhưng$f(f(x))=1$ bất cứ gì $x\in\mathbb{R}$ và như vậy $f\circ f$ là liên tục.

Tôi để lại như một bài tập (bằng cách điều chỉnh ví dụ này) rằng $g\circ f$ liên tục không nói lên điều gì về tính liên tục của $g$ cũng không $f$.

Answer 2

Như @Kavi Rama Murthy đã nói trong commnet, bạn có thể thấy $(g \circ f)$ có thể liên tục bỏ qua $f$, nếu $g$ không đổi.

Đối với một ví dụ khác, hãy xem xét $(X_1,T_1)$ với cấu trúc liên kết rời rạc, sau đó $(g \circ f)$ trở nên liên tục phớt lờ $g$.