Biến đổi Laplace cho các phân phối

Question

Biến đổi Fourier đối với các phân phối được ủ là nổi tiếng. Nó được định nghĩa bởi$$\langle \mathcal{F}T , \phi\rangle = \langle T,\mathcal{F}\phi\rangle$$Đối với bất kỳ hàm Schwartz nào $\phi$. Đối với các hàm thông thường, nó được định nghĩa bởi$$\mathcal{F}f(s) = \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-2\pi ist}f(t)dt$$Mặt khác, phép biến đổi Laplace đơn phương cho các hàm thông thường là $$\mathcal{L}f(s) = \int_{0^{-}}^{+\infty}e^{-st}f(t)dt$$Ở đâu $s \in \mathbb{C}$. Có thể thực hiện phép biến đổi Laplace của các phân phối không? Vậy nó được định nghĩa như thế nào? Nó được biết rằng$\mathcal{L}\delta(t) = 1$ nhưng tôi không biết nó có nghiêm ngặt không vì $\delta(t)$ không phải là một chức năng bình thường.

Answer 1

Nếu $T$ là một bản phân phối với hỗ trợ nhỏ gọn thì $\langle T(t), e^{-st} \rangle$được xác định rõ. Người ta có thể lấy$\rho \in C_c^\infty$ như vậy mà $\rho \equiv 1$ trên một vùng lân cận với sự hỗ trợ của $T$ và xác định $\langle T(t), e^{-st} \rangle = \langle T(t), \rho(t) e^{-st} \rangle$. Kết quả không phụ thuộc vào sự lựa chọn$\rho$.