Khôi phục Subobject Poset từ Subobject Classifier

Question

Trong lý thuyết topos, một cách diễn đạt vai trò của bộ phân loại subobject $\Omega$ là đối tượng đại diện cho chức năng subobject.

Nlab (và tất cả các nguồn tôi đã tìm thấy qua googling) đề cập đến $\text{Sub}(-)$ như một người vui từ $\mathcal{E}$ đến $\mathsf{Set}$. Tuy nhiên chúng tôi biết rằng$\text{Sub}(X)$luôn luôn là một poset (thực sự trong topos, nó luôn là một đại số hoàng kim). Từ$\Omega$bản thân nó cũng là một đại số hoàng kim, có vẻ như chúng ta có thể khôi phục cấu trúc poset của$\text{Sub}(X)$ bằng cách chỉ xem xét các chức năng đặc trưng tương ứng $\chi_A : X \to \Omega$.

Trong $\mathsf{Set}$ trực quan rõ ràng về cách thực hiện điều này: cấu trúc poset trên subobjects được phục hồi chính xác theo thứ tự điểm trên các hàm đặc trưng $\chi_A \leq \chi_B$. Điều này có vẻ như nó sẽ hoạt động trong một topo tùy ý, nhưng tôi đang đấu tranh để tìm ra một cụm từ phân loại tự nhiên.

Cảm ơn trước ^ _ ^

Answer 1

Chúng ta có thể xác định thứ tự từng phần $\le$ trên $\operatorname{Hom}(U, \Omega)$ bằng cách nói $f \le g$ nếu và chỉ nếu $(f \rightarrow g) = \operatorname{true} \circ ()$ Ở đâu $\operatorname{true} : 1 \to \Omega$ xuất phát từ định nghĩa của phân loại subobject và $() : U \to 1$ là phép biến hình duy nhất từ ​​thuộc tính phổ quát của $1$là đối tượng cuối cùng; và${\rightarrow} : \Omega \times \Omega \to \Omega$ là toán tử "bổ sung tương đối" từ cấu trúc của $\Omega$ như một đối tượng đại số Heyting của topos.

Sau đó, đối với subobjects $A, B \in \operatorname{Sub}(U)$, chúng tôi có cái đó $A \subseteq B$ nếu và chỉ nếu $\chi_A \le \chi_B$.

Answer 2

Điều này là một chút gián tiếp nhưng nó hoạt động. Theo bổ đề Yoneda mọi hoạt động tự nhiên trên subobjects tương ứng với một hoạt động trên$\Omega$. Cụ thể là sự giao nhau và liên kết (sản phẩm và sản phẩm đồng dạng) của các đối tượng subobject tương ứng với hai hoạt động$\cap, \cup : \Omega \times \Omega \to \Omega$ chế tạo $\Omega$một mạng tinh thể bên trong. Một trong hai thao tác này có thể được sử dụng để xác định thứ tự: chúng ta có$a \le b$ iff $a \cup b = b$ iff $a \cap b = a$.