Không gian tôpô, đa tạp, tập mở

Question

Xem xét một hình thái đồng căn $f$ gửi một tập hợp mở $X$ của một tập hợp mở $Y$ của một đa tạp khác: $$ f\,:~X \longrightarrow Y~~. $$ Là một homeomorphism, $f$ là liên tục - và nghịch đảo của nó cũng vậy $g = f^{-1}~$: $$ g\,:~ Y\longrightarrow X ~~. $$

Sau đó, một tập hợp con (không nhất thiết phải mở) $$ A \subset X $$ được lập bản đồ bởi $f$ đến một tập hợp con (không nhất thiết phải mở) $f A\subset Y$.

Các hạn chế kết quả của $f$ và $g = f^{-1}$ Chúng tôi:

$$ f_{~|A}\,: ~~~~ A \longrightarrow f(A)~~, $$ $$ g_{~|f(A)}\,: ~~~ f(A) \longrightarrow A ~~. $$

Bây giờ, nếu tôi mặc định rằng hình ảnh $f(A)~$ ${\underline{\mbox{is}}}$ mở, điều đó có ngụ ý rằng preimage $A$ cũng mở?

Nói ngắn gọn: có phải một hạn chế của một bản đồ liên tục cũng liên tục không?

/ Nó chắc chắn là trong giải tích - nhưng làm thế nào để hiển thị điều này trong cấu trúc liên kết? /

Answer 1

Nếu $f:X\to Y$ là một homeomorphism và $A\subseteq X$, sau đó $f_{|A}:A\to f(A)$cũng là một hình dạng đồng căn. Bất kể điều gì$A$ là, mở hay không.

Thật vậy, là một phép đồng cấu hình có nghĩa là có một nghịch đảo liên tục $g:Y\to X$. Bây giờ một hạn chế của chức năng liên tục là liên tục và$f_{|A}$là liên tục. Chắc chắn$g_{|f(A)}:f(A)\to A$ được xác định rõ (bởi vì $g(f(A))=A$) và liên tục. Điều này$g_{|f(A)}$ là nghịch đảo của $f_{|A}$.

Answer 2

Được rồi, tôi nghĩ tôi đã hiểu được bây giờ, nhờ @NDewolf và @freakish.

Trong câu hỏi của tôi, thiếu một chi tiết: Tôi đã quên nói điều đó $A$được đưa ra cấu trúc liên kết không gian con. Với chi tiết này được thêm vào, câu trả lời sẽ như thế này:

Nếu $f$ liên tục, điều này có nghĩa là đối với bất kỳ $f(A)$ hình ảnh trước của nó $A$ phải mở.

Cụ thể, hạn chế $f_{|A}$liên tục cho rằng$A$được đưa ra cấu trúc liên kết không gian con .