Poisson Process Method of Moments

Question

Khước từ trách nhiệm: Đây là một vấn đề về nhà

Một nhà nghiên cứu của Trường Đai học muốn ước tính số lượng diều hâu đuôi đỏ ở Ithaca. Cô ấy gắn thẻ radio cho 10 con chim, sau đó thiết lập một trạm cho ăn bằng camera tự động

Nhà nghiên cứu tin rằng mỗi cá thể chim đến thăm máng ăn có thể được mô hình hóa như một quá trình Poisson với một số tỷ lệ chưa biết $\lambda$. Trong năm tuần đầu tiên, cô ấy quan sát trung bình 28,8 con chim (được gắn thẻ và không được gắn thẻ) ghé thăm khay nạp, với trung bình 6 con được gắn thẻ mỗi tuần. Sử dụng phương pháp khoảnh khắc để có được ước tính cho tổng dân số.

Phương pháp mômen là một cách để ước tính các tham số bằng cách tập hợp một hệ phương trình sử dụng các mômen thực nghiệm và đặt chúng bằng các mômen thực tế. Ở đây, chúng ta chỉ cần một phương trình cho một ẩn số:$\lambda$.

Theo cách tôi hiểu vấn đề này, chúng tôi có $m_1 = \frac{X_1+X_2+X_3+X_4+X_5}{5} = 6$. Sau đó, chúng tôi muốn$\mu_1 = E[X] = \frac{1}{\lambda} = m_1 = 6 \implies \lambda = \tfrac 16$. Tuy nhiên, tôi không chắc về lý do của mình ở đây vì điều này không tính đến những con chim chưa được gắn thẻ. Tôi cũng không chắc liệu mình có hiểu đúng thời điểm thực nghiệm từ vấn đề này hay không.

Answer 1

Thông thường, giả sử một dân số không đổi và sự pha trộn ngẫu nhiên của nó giữa thời điểm gắn thẻ và thời điểm quan sát diều hâu ở bộ nạp, tỷ lệ $10/N$ số diều hâu được gắn thẻ trong dân số nên được ước tính theo tỷ lệ $6/28.8$tại trung chuyển. Vì vậy, chúng tôi ước tính$\hat N = 288/6 = 48$ diều hâu trong quần thể.

Lưu ý: Phương pháp 'Lincoln-Peterson' này không thành công nếu không có con diều hâu được gắn thẻ nào được nhìn thấy ở khay nạp. Xem Wikipedia và các tài liệu tham khảo khác về mark-recapturehoặc capture-recaptureước lượng` để có các phương pháp thỏa đáng hơn.