Sheafification of a subpresheaf
Để cho $\mathscr{F}$ là một diễn viên phụ của một trang trại $\mathscr{H}$. Nếu tôi hiểu đúng, trong trường hợp này, sheafification có một dạng đặc biệt đơn giản. Nó được xác định bởi$$\widetilde{\mathscr{F}}(U)=\{s\in \mathscr{H}(U)\:|\:s\text{ locally lies in }\mathscr{F}\},$$ nơi chúng tôi nói điều đó $s\in \mathscr{H}(U)$ địa phương nằm ở $\mathscr{F}$ có một tấm bìa mở không $\{U_i\}$ của $U$ như vậy mà $s|_{U_i}\in \mathscr{F}(U_i)$ Cho mọi $i$.
Rõ ràng rằng đây thực sự là một cái bọc nhưng tôi không thể thấy nó thỏa mãn tính chất phổ quát của quá trình sheafification như thế nào.
Tôi đã nghĩ về việc thực hiện nó theo cách sau: Tôi thực sự nghĩ rằng việc xây dựng này là một công cụ $\mathscr{F}$. Giả sử như vậy, đã cho một phép biến hình$\mathscr{F}\to\mathscr{G}$ chúng ta nên có một biến hình cảm ứng $\widetilde{\mathscr{F}}\to\widetilde{\mathscr{G}}$ trùng hợp với biến hình ban đầu của chúng tôi khi giới hạn $\mathscr{F}$. Nếu$\mathscr{G}$ là một cái lá, $\widetilde{\mathscr{G}}=\mathscr{G}$và do đó điều này mang lại biến hình mong muốn của chúng tôi. Nhưng tôi thực sự không thể hiểu được lý do tại sao cấu trúc này là$\mathscr{F}$.
Trả lời
Cho một cái bánh mì $\mathscr{G}$ và một sự biến hình của những người nói trước $f:\mathscr{F}\to \mathscr{G}$, bạn có thể trực tiếp tạo ra một biến thể của các presheaves (và do đó của sheav) $\widetilde{f}:\widetilde{\mathscr{F}}\to \mathscr{G}$ kéo dài $f$. Đưa ra một phần$s\in \widetilde{\mathscr{F}}(U)$, chọn bất kỳ nắp mở nào $\{U_i\}$ của $U$ như vậy mà các hạn chế $s\mid_{U_i}$ ngủ nướng $\mathscr{F}$. Sau đó, bạn có thể áp dụng$f$ đối với từng hạn chế này và dán hình ảnh của chúng để $\widetilde{f}(s)\in \mathscr{G}(U)$. Không khó để kiểm tra rằng điều này được xác định rõ ràng, tức là độc lập với bìa mở và trên thực tế$\widetilde{f}$ là phần mở rộng duy nhất của $f$. Sau này cho thấy rằng$\widetilde{\mathscr{F}}$ là một sheafification.
Về tính chất vui nhộn mà bạn đề cập, vì định nghĩa của bạn yêu cầu sự lựa chọn $\mathscr{H}$, Tôi không chắc làm thế nào để hiểu điều này (tất nhiên bạn biết sau thực tế rằng sheafification là chức năng của thuộc tính phổ quát).
tôi đang giả định $\mathscr H$ là một tập hợp các nhóm abelian trên một không gian tôpô $X$.
Từ$\mathscr H$ là một tấm, bởi thuộc tính phổ biến của sheafi-hư cấu, sự biến hình của pre-sheaves $\iota:\mathscr F\hookrightarrow\tilde {\mathscr F} $ các yếu tố thông qua $\mathscr F\xrightarrow{j}\mathscr F^{sh}\xrightarrow{\bar \iota }\tilde{\mathscr F}$. Để thấy rằng$\bar \iota: \mathscr F^{sh}\rightarrow \tilde {\mathscr F}$là đẳng tích, chỉ cần kiểm tra ở mức độ cuống là đủ.
Quan sát rằng ở cấp độ thân cây, chúng ta có$x\in X$, không gian cơ sở, thành phần $$\mathscr F_x\xrightarrow{j_x}\mathscr F^{sh}_x\xrightarrow{\bar \iota_x }{\tilde{\mathscr F}}_x=\mathscr F_x $$đó là bản sắc. Hơn thế nữa,$j_x$là một chất đẳng cấu. Điều này xuất phát từ việc xây dựng quá trình sheafification. Như vậy$\bar \iota_x$ là một đẳng cấu cho mọi $x\in X$ và do đó $\bar \iota $ là một chất đẳng cấu.
Lưu ý: Cấu trúc tiêu chuẩn của$\mathscr F^{sh}$ là để xem xét $\mathscr F$ như một phần phụ của bó thân cây $\mathscr H(U):=\{\prod_{x\in U}s_x: s_x\in \mathscr F_x \}$ và sau đó nhìn vào $\tilde {\mathscr F}$ trong trang bìa này.